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Eigenschaften von Parameterschätzern

Definition 5.13
 

Beachte
$ \;$ Die folgende Sprechweise ist üblich:
  1. Die Differenz $ {\mathbb{E}\,}_\theta \hat\theta(X_1,\ldots,X_n)-\theta$ heißt Verzerrung (Synonym: Bias).
  2. Falls $ {\mathbb{E}\,}_\theta (\vert\hat\theta(X_1,\ldots,X_n)-\theta\vert^2)<\infty$, dann heißt $ {\mathbb{E}\,}_\theta (\vert\hat\theta(X_1,\ldots,X_n)-\theta\vert^2)$ die erwartete quadratische Abweichung des Schätzers $ \hat\theta(X_1,\ldots,X_n)$ von dem zu schätzenden Parametervektor $ \theta\in\Theta\subset\mathbb{R}^m$.

Beispiel
 


Definition 5.14
$ \;$ Der Schätzer $ \hat\theta(X_1,\ldots,X_n)$ des Parametervektors $ \theta$ heißt
  1. schwach konsistent, falls für $ n\to\infty$

    $\displaystyle \hat\theta(X_1,\ldots,X_n)
\overset{\textrm{st}}{\longrightarrow}\theta\,,
$

    d.h.

    $\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}P_\theta
(\vert\hat\theta(X_1,\ldots,X_n)-\theta\vert>\varepsilon)= 0\qquad\forall
\varepsilon>0
$

    für jedes $ \theta\in\Theta$.


  2. stark konsistent, falls für $ n\to\infty$

    $\displaystyle \hat\theta(X_1,\ldots,X_n)
\overset{\textrm{f.s.}}{\longrightarrow}\theta\,,
$

    d.h.

    $\displaystyle P_\theta
\Bigl(\lim\limits_{n\to\infty}\hat\theta(X_1,\ldots,X_n)=\theta\Bigr)=1
$

    für jedes $ \theta\in\Theta$.

Beispiel
 


Schließlich wollen wir noch den Begriff der asymptotischen Normalverteiltheit von Schätzern erwähnen. Hierfür benötigen wir einen Hilfssatz aus der linearen Algebra, auf dessen Herleitung wir jedoch im Rahmen dieser Vorlesung nicht eingehen.

Lemma 5.15
$ \;$ Sei $ K$ eine symmetrische und positiv definite $ n\times n$-Matrix. Dann gibt es eine eindeutig bestimmte symmetrische und positiv definite $ n\times n$-Matrix $ L$, so daß

$\displaystyle L\cdot L=K\,.$ (27)

Beachte
 


Definition 5.16
$ \;$ Die Kovarianzmatrix Cov $ \hat\theta(X_1,\ldots,X_n)$ des Schätzers $ \hat\theta(X_1,\ldots,X_n)$ sei für jedes $ n\in\mathbb{N}$ und für jedes $ \theta\in\Theta$ positiv definit. Dann heißt der Schätzer $ \hat\theta(X_1,\ldots,X_n)$ des Parametervektors $ \theta$ asymptotisch normalverteilt, falls

$\displaystyle ($Cov $\displaystyle \hat\theta(X_1,\ldots,X_n))^{-1/2}\Bigl(
\hat\theta(X_1,\ldots,X_...
...}\,}\hat\theta(X_1,\ldots,X_n)\Bigr)
\overset{\textrm{d}}{\longrightarrow}Y\,,
$

wobei $ Y\sim$ N$ (0,I_m)$ und $ I_m$ die $ m$-dimensionale Einheitsmatrix bezeichnet.


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Roland Maier 2001-08-20