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Kritischer Bereich; Fehlerwahrscheinlichkeiten

Sei $ \Delta$ die Familie der insgesamt in Betracht gezogenen (d.h. potentiell möglichen) Verteilungsfunktionen $ F$ der Stichprobenvariablen $ X_i$; $ i\in\{1,\ldots,n\}$.


Dabei ist die folgende Sprechweise üblich:


Um zwischen der Nullhypothese $ H_0$ und der Alternativhypothese $ H_1$ abwägen zu können, wird ein Test, d.h. eine Entscheidungsregel nach dem folgenden Prinzip konstruiert:


Mit anderen Worten:


Dies führt zu der folgenden

Definition 5.27
$ \;$ Sei $ \alpha\in(0,1)$ eine beliebige (vorgegebene) Zahl. Man sagt, daß die in (70) eingeführte Stichprobenfunktion $ \varphi:\mathbb{R}^n\to\{0,1\}$ ein Test zum Niveau $ \alpha$ ist, falls

$\displaystyle P_F(\varphi(X_1,\ldots,X_n)=1)\le\alpha$ (71)

für jedes $ F\in\Delta_0$. Falls außerdem noch

$\displaystyle P_F(\varphi(X_1,\ldots,X_n)=1)\ge\alpha$ (72)

für jedes $ F\in\Delta_1$, dann heißt $ \varphi:\mathbb{R}^n\to\{0,1\}$ ein unverfälschter Test zum Niveau $ \alpha$.


Beachte
 


Falls die Familie $ \Delta$ der insgesamt in Betracht gezogenen Verteilungsfunktionen $ F$ der Stichprobenvariablen $ X_i$ eine parametrische Familie $ \Delta=\{F_\theta,\,\theta\in\Theta\}$ von Verteilungsfunktionen ist, dann zerlegen wir $ \Delta$ auf die folgende Weise in zwei Teilmengen $ \Delta_0$ und $ \Delta_1$:


Beispiel
$ \;$ Sei $ \Delta=\{$N $ (\mu,\sigma^2),\,\mu\in\mathbb{R}\}$ die Familie der (eindimensionalen) Normalverteilungen mit einer vorgegebenen (bekannten) Varianz $ \sigma^2$. Dann ist


Für parametrische Verteilungsfamilien können die Begriffe, die in Definition 5.27 eingeführt wurden, wie folgt spezifiziert bzw. durch weitere Begriffe ergänzt werden.

Definition 5.28
 


Beachte
 
  1. Bei der praktischen Konstruktion des kritischen Bereichs $ K$ eines Parametertest zum Niveau $ \alpha$ kann oft wie folgt vorgegangen werden:
    • Bestimme eine Stichprobenfunktion $ T:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ (genannt Testgröße), so daß
    • die Zufallsvariable $ T(X_1,\ldots,X_n)$ für jedes $ \theta\in\Theta_0$ die gleiche (bekannte) Verteilung hat, und
    • bestimme einen Schwellenwert $ c>0$, so daß $ P_\theta\bigl(\vert T(X_1,\ldots,X_n)\vert>c\bigr)\le\alpha$ für jedes $ \theta\in\Theta_0$ gilt.
    • Dann ist mit $ K=\{(x_1,\ldots,x_n):\,\vert T(x_1,\ldots,x_n)\vert>c\}$ der kritische Bereich eines Parametertests zum Niveau $ \alpha$ gegeben.
  2. Um einen Test zum Niveau $ \alpha$ mit einer möglichst großen Macht zu erhalten, ist es jedoch manchmal zweckmäßiger,
    • zwei Schwellenwerte $ c_1,c_2\in\mathbb{R}\cup\{\pm\infty\}$ mit $ c_1<c_2$ zu betrachten, so daß für jedes $ \theta\in\Theta_0$

      $\displaystyle P_\theta\bigl(c_1\le T(X_1,\ldots,X_n)\le c_2\bigr)\ge 1-\alpha\,.
$

    • Dann ist mit $ K=\mathbb{R}^n\setminus\{(x_1,\ldots,x_n):\,c_1\le
T(x_1,\ldots,x_n)\le c_2\}$ der kritische Bereich eines (asymmetrischen) Parametertests zum Niveau $ \alpha$ gegeben.


In den folgenden Abschnitten wird dieses Konstruktionsprinzip anhand einer Reihe von Beispielen näher diskutiert.


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Roland Maier 2001-08-20