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Satz von Gliwenko-Cantelli
- Beachte
-
- Beweis
-
- Wir nehmen zunächst an, daß die Verteilungsfunktion
stetig ist.
- Für jede natürliche Zahl
gibt es dann reelle Zahlen
, so daß
und
|
(71) |
- Mit der Schreibweise
ergibt sich dann hieraus,
daß für jedes
|
(72) |
- Für beliebige
und
sei
- Aus Teilaussage 3 von Theorem 1.17 ergibt sich dann,
daß
|
(73) |
für beliebige
und
.
- Damit gilt auch
|
(74) |
wobei
denn aus (73) ergibt sich, daß
- Für jedes
gibt es nun eine natürliche Zahl
, so daß
für jedes
und für jedes
.
- Hieraus und aus (72) folgt, daß
|
(75) |
für jedes
und für jedes
.
- Dies bedeutet, daß es für jedes
und für jedes
eine natürliche Zahl
gibt, so daß (75) für
jedes
gilt.
- Dabei ergibt sich genauso wie im Beweis von (74),
daß
weil
für jedes
.
- Weil
beliebig klein gewählt werden kann, ist somit
die Behauptung (70) für den Fall bewiesen, daß die
Verteilungsfunktion
stetig ist.
- Im Fall einer beliebigen (nichtnotwendig stetigen)
Verteilungsfunktion läßt sich die Gültigkeit von
(70) auf ähnliche Weise zeigen.
- Anstelle von (71) nutzen wir nun die Tatsache, daß
es für jede natürliche Zahl
reelle Zahlen
gibt, so daß
und für jedes
|
(76) |
wobei
.
- Außerdem ergibt sich genauso wie bei der Herleitung von
(72), daß für jedes
|
(77) |
- Aus Teilaussage 3 von Theorem 1.17 ergibt sich
ähnlich wie (73), daß
für
beliebige
und
, wobei
- Hieraus und aus (77) folgt dann, daß
(75) für jedes
und für jedes
gilt, wobei
- Weil
für jedes
, ergibt sich nun die
Behauptung genauso wie im ersten Teil des Beweises.
- Beachte
-
Ein JAVA-Applet, mit dem die Aussage des Satzes von
Gliwenko-Cantelli, d.h. der Grenzübergang
(70) simuliert werden kann, findet man
beispielsweise auf der Internet-Seite:
Dieses JAVA-Applet simuliert die empirische
Tailfunktion
für den Fall, daß
für , d.h., ist die Verteilungsfunktion der
Exponentialverteilung Exp mit dem Parameter .
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Roland Maier
2003-03-06