$\chi ^2$-Anpassungstest

Wir modifizieren nun die ursprüngliche Fragestellung (64) auf die folgende Weise:

• Wir zerlegen den Wertebereich der Stichprobenvariablen $X_1,\ldots,X_n$ in $r$ Klassen $(a_1,b_1],\ldots,(a_r,b_r]$ mit
  $$-\infty\le a_1<b_1=a_2<b_2=\ldots=a_r<b_r\le\infty\,,$$
  wobei $r$ eine (hinreichend große) natürliche Zahl ist.
• Anstelle der Zufallsstichprobe $(X_1,\ldots,X_n)$ betrachten wir den Zufallsvektor $(Y_1,\ldots,Y_r)$ der ,,Klassenstärken'', wobei

  $$Y_j=\char93 \{i: \,1\le i\le n,\, a_j<X_i\le b_j\}\,,\qquad\forall\, j=1,\ldots,r\,.$$ (66)

  
  

Wir zeigen zunächst den folgenden Hilfssatz.

Lemma 4.1    

• Der in $(\ref{yps.var})$ definierte Zufallsvektor $(Y_1,\ldots,Y_r)$ ist multinomialverteilt mit den Parametern $n\in\mathbb{N}$ und $p=(p_1,\ldots,p_{r-1})\in[0,1]^{r-1}$, wobei $p_j=P(a_j<X_1\le b_j))$ für jedes $j=1,\ldots,r-1$.
• Mit anderen Worten: Für beliebige Zahlen $k_1,\ldots,k_r\in\mathbb{N}$ mit $k_1+\ldots+k_r=n$ gilt

  $$P(Y_1=k_1,\ldots,Y_r=k_r)=\frac{n!}{k_1!\cdot\ldots\cdot k_r!}\; p_1^{k_1}\ldots p_r^{k_r}\,,$$ (67)

  
  
  wobei $p_r=1-(p_1+\ldots+p_{r-1})$.

Beweis

 

• Weil die Stichprobenvariablen $X_1,\ldots,X_n$ unabhängig und identisch verteilt sind, gilt

  $$P\bigl(X_1\in(a_{i_1},b_{i_1}],\ldots,X_n\in(a_{i_n},b_{i_n}]\bigr) =\prod\limits _{j=1}^n P((a_{i_j}<X_1\le b_{i_j})=p_1^{k_1}\ldots p_r^{k_r}$$ (68)

  
  
  für jede Folge von Intervallen $(a_{i_1},b_{i_1}],\ldots,(a_{i_n},b_{i_n}]$, die $k_1$-mal das Intervall $(a_1,b_1],\ldots,$ $k_r$-mal das Intervall $(a_r,b_r]$ enthält.
• Die Behauptung (67) ergibt sich nun durch Summation der in (68) betrachteten Wahrscheinlichkeiten über sämtliche Permutationen von Folgen dieser Art.
  
  $\Box$

Beachte

 

• Die Multinomialverteilung mit den Parametern $n\in\mathbb{N}$ und $p=(p_1,\ldots,p_{r-1})\in[0,1]^{r-1}$ bezeichnen wir mit M $_{r-1}(n,p)$.
• Zur Erinnerung: Für den Parameter(-vektor) $p=(p_1,\ldots,p_{r-1})\in[0,1]^{r-1}$ der Multinomialverteilung M $_{r-1}(n,p)$ gilt
  $$0\le p_r=1-\sum\limits _{i=1}^{r-1}p_i\le 1\,,$$
  d.h., die Wahrscheinlichkeit $p_r$ wird durch $p=(p_1,\ldots,p_{r-1})$ eindeutig bestimmt.
• Mit anderen Worten: $p_r$ ist keine unabhängig von $p$ wählbare Parameterkomponente.
• Man kann sich leicht überlegen, daß für $r=2$ die Multinomialverteilung M$_1(n,p_1)$ mit der Binomialverteilung Bin$(n,p_1)$ übereinstimmt.

Anstelle das ursprüngliche Testproblem (64) zu untersuchen, prüfen wir nun

• die Hypothese $H_0: p=p_0$ (gegen die Alternative $H_1:p\not=p_0$) für einen vorgegebenen (hypothetischen) Parametervektor $p_0=(p_{0,1},\ldots,p_{0,r-1})\in(0,1)^{r-1}$ mit $\sum\limits _{i=1}^{r-1}p_{0,i}< 1$.
• Wir zerlegen also die Familie $\Delta$ der insgesamt in Betracht gezogenen Verteilungen der Stichprobenvariablen $X_1,\ldots,X_n$ in die Teilmengen
  $$\Delta_0=\{P:\;P(a_j< X_1\le b_j)=p_{0,j}\;\forall j=1,\ldots,r-1\}$$   bzw.$$\qquad \Delta_1=\Delta\setminus\Delta_0\,.$$

• Wir betrachten die Testgröße $T_n:\mathbb{R}^n\to[0,\infty)$ mit

  $$T_n(x_1,\ldots,x_n)=\sum\limits _{j=1}^r\;\frac{\bigl(Y_j(x_1,\ldots,x_n)-np_{0,j}\bigr)^2}{np_{0,j}}\;,$$ (69)

  
  
  wobei $Y_j(x_1,\ldots,x_n)$ die Anzahl derjenigen Stichprobenwerte $x_1,\ldots,x_n$ bezeichnet, die im Intervall $(a_j,b_j]$ liegen.

Das folgende Theorem ist die Grundlage des sogenannten $\chi ^2$-Anpassungstests, der von Karl Pearson (1857-1936) eingeführt worden ist.

Theorem 4.7   Für jedes $P\in\Delta_0$ gilt

$$\lim\limits _{n\to\infty}P\bigl(T_n(X_1,\ldots,X_n) >\chi^2_{r-1,1-\alpha}\bigr)=\alpha\,,\qquad\forall\,\alpha\in(0,1)\,,$$ (70)

wobei $\chi^2_{r-1,1-\alpha}$ das $(1-\alpha)$-Quantil der $\chi ^2$-Verteilung mit $r-1$ Freiheitsgraden bezeichnet.

Der Beweis von Theorem 4.7 geht über den Rahmen dieser einführenden Vorlesung hinaus. Die Beweisidee beruht auf der Anwendung des

• zentralen Grenzwertsatzes für Summen von unabhängigen und identisch verteilten Zufallsvektoren (der eine mehrdimensionale Version von Theorem WR-5.16 ist) und
• des Continuous Mapping Theorems für Zufallsvektoren (eine mehrdimensionale Version von Theorem WR-5.12).

Dabei wird die Tatsache genutzt, daß

• der in $(\ref{yps.var})$ definierte Zufallsvektor $(Y_1,\ldots,Y_r)$ gemäß Lemma 4.1 ein M $_{r-1}(n,p)$-verteilter Zufallsvektor ist,
• der sich somit als Summe von $n$ unabhängigen und identisch M $_{r-1}(1,p)$-verteilten Zufallsvektoren darstellen läßt.
• Aus dem mehrdimensionalen zentralen Grenzwertsatz ergibt sich dann, daß die zentrierte und normierte Version
  $$(Y_1^\prime,\ldots,Y_r^\prime)=\Bigl(\frac{Y_1-np_{0,1}}{\sqrt{np_{0,1}}},\ldots, \frac{Y_1-np_{0,r}}{\sqrt{np_{0,r}}}\Bigr)$$
  des Zufallvektors $(Y_1,\ldots,Y_r)$ für großes $n$ näherungsweise normalverteilt ist.
• Weil die in (69) definierte Testgröße $T_n(X_1,\ldots,X_n)$ das Skalarprodukt von $(Y_1^\prime,\ldots,Y_r^\prime)$ mit sich selbst ist und
• weil deshalb die Testgröße $T_n(X_1,\ldots,X_n)$ durch eine stetige Abbildung aus $(Y_1^\prime,\ldots,Y_r^\prime)$ hervorgeht,
• ergibt sich die Behauptung von Theorem 4.7 nun aus dem mehrdimensionalen Continuous Mapping Theorem,

vgl. beispielsweise Abschnitt 11.2 in H.-O. Georgii (2002) Stochastik: Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik, de Gruyter, Berlin oder Abschnitt II.3 in H. Pruscha (1996) Angewandte Methoden der Mathematischen Statistik, Teubner, Stuttgart.

Beachte

 

• Bei der praktischen Durchführung des $\chi ^2$- Anpassungstests zur Prüfung der Hypothese $H_0: p=p_0$ (gegen die Alternative $H_1:p\not=p_0$) ist zunächst der Wert der in (69) definierten Testgröße $T_n(x_1,\ldots,x_n)$ zu berechnen.
• Bei hinreichend großem Stichprobenumfang $n$ wird die Hypothese $H_0: p=p_0$ abgelehnt, falls $T_n(x_1,\ldots,x_n)>\chi^2_{r-1,1-\alpha}$, wobei $\chi^2_{r-1,1-\alpha}$ das $(1-\alpha)$-Quantil der $\chi ^2$-Verteilung mit $(r-1)$-Freiheitsgraden bezeichnet.
• Falls $T_n(x_1,\ldots,x_n)\le \chi^2_{r-1,1-\alpha}$, dann wird die Hypothese $H_0: p=p_0$ nicht abgelehnt.
• Eine ,,Faustregel'' dafür, daß $n$ hinreichend groß ist, ist die Gültigkeit der Ungleichung $np_{0,j}\ge a$ für jedes $j\in\{1,\ldots,r\}$ und für eine Konstante $a>0$.
• Über die erforderliche Größe von $a>0$ gibt es unterschiedliche Auffassungen in der Literatur, die von $a=2$ bis $a=5$ reichen. Manche Autoren fordern sogar, daß $a=10$.
• Andere Autoren meinen, daß bei einer großen Zahl von Klassen (etwa $r\ge 10$) auch schon für $a=1$ die Approximation hinreichend gut ist.