Kolmogorow-Test

• Zur Überprüfung der Hypothesen

  $$H_0:P=P_0 \qquad H_1:P\not=P_0$$ (64)

  
  
  werden in der Literatur verschiedene asymptotische Tests vorgeschlagen.
• Ein solches Verfahren ist beispielsweise der Kolmogorow-Test, bei dem vorausgesetzt wird, daß die zu $P_0$ gehörende hypothetische Verteilungsfunktion $F_0:\mathbb{R}\to[0,1]$ stetig ist.
• Der Kolmogorow-Test beruht auf der Untersuchung der in Abschnitt 1.5 eingeführten empirischen Verteilungsfunktion $\,\widehat F_n:\mathbb{R}\times\mathbb{R}^n\to[0,1]$, wobei
  $$\,\widehat F_n(t;x_1,\ldots,x_n)=\frac{\char93 \{i:\,1\le i\le n,\, x_i\le t\}}{n}\,.$$

• Dabei wird die Testgröße $T_n:\mathbb{R}^n\to[0,\infty)$ betrachtet mit
  $$T_n(x_1,\ldots,x_n)=\sqrt{n}\;\sup\limits _{t\in\mathbb{R}}\vert\,\widehat F_n(t;x_1,\ldots,x_n)-F_0(t)\vert\,.$$

• In Theorem 1.20 hatten wir erwähnt, daß unter $H_0: \, P=P_0$
  $$\lim\limits_{n\to\infty}P\bigl(T_n(X_1,\ldots,X_n) \le x\bigr)= K(x)\,,\qquad\forall\, x\in\mathbb{R}$$
  gilt, wobei

  $$K(x)=\left\{\begin{array}{ll} 1-2\sum\limits_{k=1}^\infty (-1)^{... ...box{falls $x>0$,}\\ [3\jot] 0\,, & \mbox{falls $x\le 0$.} \end{array}\right.$$ (65)

  
  

• Bei hinreichend großem Stichprobenumfang (als ,,Faustregel'' gilt $n>40$, vgl. die Bemerkung am Ende von Abschnitt 1.5.3) wird die Hypothese $H_0:P=P_0$ deshalb abgelehnt, falls $T_n(x_1,\ldots,x_n)>\xi_{1-\alpha}$, wobei $\xi_{1-\alpha}$ das $(1-\alpha)$-Quantil der in (65) gegebenen Kolmogorow-Verteilung bezeichnet, d.h., $\xi_{1-\alpha}$ ist Lösung der Gleichung
  $$K(\xi_{1-\alpha})=1-\alpha\,.$$

• Falls $T_n(x_1,\ldots,x_n)\le \xi_{1-\alpha}$, dann wird die Hypothese $H_0:P=P_0$ nicht abgelehnt.