Einfache Anwendungsbeispiele; Monte-Carlo-Schätzer

Wir erinnern zunächst an zwei einfache Beispiele von Fragestellungen, die mit Monte-Carlo-Simulation gelöst werden können und die bereits in der Vorlesung ,,Wahrscheinlichkeitsrechnung'' erwähnt wurden.

1. Algorithmus zur Bestimmung der Zahl $\pi$ 
   • Ein einfacher Computer-Algorithmus zur Monte-Carlo-Simulation der Zahl $\pi$ ist die folgende (verbesserte) Variante des Buffonschen Nadelexperimentes, vgl. auch die Abschnitte 2.5 bzw. 5.2.3 der Vorlesung ,,Wahrscheinlichkeitsrechnung''.
   • Dieser Algorithmus hängt mit dem folgenden geometrischen Sachverhalt zusammen.
     • Wir betrachten das Quadrat
       $$B=(-1,1]\times(-1,1]\subset\mathbb{R}^2$$

     • bzw. den in $B$ einbeschriebenen Kreis
       $$C=\{(x,y):\, (x,y)\in B,\, x^2+y^2<1\}$$

     • und werfen einen Punkt willkürlich in die Menge $B$.
   • In der Sprechweise der Stochastik bedeutet dies:
     • Wir betrachten zwei unabhängige Zufallsvariablen $S$ und $T$, die jeweils gleichverteilt im Intervall $(-1,1]$ sind, und
     • bestimmen die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses
       $$A=\{(S,T)\in C\}=\{S^2+T^2<1\}\,,$$
       dass der ,,zufällige Punkt'' $(S,T)$ in $C\subset B$ liegt.
     • Dann gilt
       $$P(A)=P(S^2+T^2<1)=\frac{\vert C\vert}{\vert B\vert}=\frac{\pi}{4}\;,$$
       wobei $\vert B\vert$, $\vert C\vert$ den Flächeninhalt von $B$ bzw. $C$ bezeichnet.
   • Ähnlich wie beim Buffonschen Nadelexperiment ergibt sich nun aus der Gleichung $P(A)=\pi/4$ eine
     • Methode zur statistischen Schätzung der Zahl $\pi$,
     • die auf dem Gesetz der großen Zahlen beruht und die sich leicht implementieren lässt.
   • Und zwar seien $(S_1,T_1),\ldots,(S_n,T_n)$ unabhängige und identisch verteilte Zufallsvektoren,
     • deren Verteilung mit der Verteilung von $(S,T)$ übereinstimmt und
     • die wir als ein stochastisches Modell für $n$ (unabhängig durchgeführte) Experimente auffassen.
     • Dann sind $X_1,X_2,\ldots,X_n$ mit
       $$X_i=\left\{\begin{array}{cc} 1\,, &\mbox{falls $S_i^2+T_i^2<1$}\\ 0 & \mbox{sonst} \end{array}\right.$$
       unabhängige und identisch verteilte Zufallsvariablen mit dem Erwartungswert ${\mathbb{E}\,}X_i=\pi/4$.
   • Aus dem starken Gesetz der großen Zahlen (vgl. Theorem WR-5.15) ergibt sich darüber hinaus, dass
     • das arithmetische Mittel
       $$Y_n=n^{-1}\sum\limits_{i=1}^n X_i$$
       fast sicher gegen die Zahl $\pi/4$ strebt.
     • Somit ist $Y_n$ ein erwartungstreuer und (stark) konsistenter Schätzer für $\pi/4$,
     • d.h., für große $n$ ist $4Y_n$ mit hoher Wahrscheinlichkeit eine gute Näherung der Zahl $\pi$.

     
     

   • Bei der Implementierung dieser Simulationsalgorithmus kann man wie folgt vorgehen.
     • Erzeuge $2n$ in $(0,1]$ gleichverteilte Pseudozufallszahlen $u_1,\ldots,u_{2n}$ mit einem Zufallszahlengenerator.
     • Setze $s_i=2u_i-1$ und $t_i=2u_{n+i}-1$ für $i=1,\ldots,n$.
     • Setze
       $$x_i=\left\{\begin{array}{cc} 1\,, &\mbox{falls $s_i^2+t_i^2<1$}\\ 0 & \mbox{sonst} \end{array}\right.$$

     • Berechne $4(x_1+\ldots+x_n)/n$.

   
   

2. Monte-Carlo-Integration 
   • Sei $\varphi:[0,1]\to[0,1]$ eine stetige Funktion.
     • Gesucht ist ein Schätzer für den Wert des Integrals $\int_0^1\varphi(x)\, dx$, der mit Monte-Carlo-Simulation bestimmt werden soll.
     • Dabei betrachten wir das folgende stochastische Modell.
   • Seien $X_1,X_2,\ldots:\Omega\to\mathbb{R}$ unabhängige und identisch verteilte Zufallsvariable, die im Intervall $(0,1]$ gleichverteilt sind.
     • Außerdem sei $Z_k=\varphi(X_k)$ für jedes $k=1,2,\ldots$.
     • Wegen des Transformationssatzes für unabhängige Zufallsvariablen (vgl. Theorem WR-3.18) sind dann auch $Z_1,Z_2,\ldots$ unabhängige und identisch verteilte Zufallsvariable,
     • und es gilt
       $${\mathbb{E}\,}Z_1 = \int\limits_0^1 \varphi(x) f_{X_1}(x)\, dx\\ = \int\limits_0^1\varphi(x)\, dx\,.$$

   • Aus dem starken Gesetz der großen Zahlen (vgl. Theorem WR-5.15) ergibt sich darüber hinaus, dass für $n\to\infty$
     $$\frac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^n Z_k\stackrel{{\rm f.s.}}{\longrightarrow}\int\limits_0^1 \varphi(x)\, dx\,.$$
     • Somit ist $\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n Z_k$ ein erwartungstreuer und (stark) konsistenter Schätzer für $\int_0^1\varphi(x)\, dx$,
     • d.h., für große $n$ ist $\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n Z_k$ mit hoher Wahrscheinlichkeit eine gute Näherung des Integrals $\int_0^1\varphi(x)\, dx$.

     
     

   • Bei der Implementierung dieses Simulationsalgorithmus kann man ähnlich wie in Beispiel 1 vorgehen:
     • Erzeuge $n$ in $(0,1]$ gleichverteilte Pseudozufallszahlen $x_1,\ldots,x_n$ mit einem Zufallszahlengenerator.
     • Setze $z_k=\varphi(x_k)$ für $k=1,\ldots,n$.
     • Berechne $\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n z_k$.