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Zustandsraum, Anfangsverteilung und Übergangswahrscheinlichkeiten

Definition
 

Beachte
 

Theorem 2.1   Die Folge $ \{X_n\}$ von $ E$-wertigen Zufallsvariablen ist genau dann eine Markov-Kette, wenn es eine stochastische Matrix $ {\mathbf{P}}=(p_{ij})$ gibt, so dass

$\displaystyle P(X_{n}=i_n\mid X_{n-1}=i_{n-1},\ldots,X_0=i_{0}) =p_{i_{n-1}i_n}$ (4)

für beliebige $ n=1,2,\ldots$ und $ i_0,i_1,\ldots,i_n\in E$ mit $ P(
X_{n-1}=i_{n-1},\ldots,X_0=i_{0})>0$.

Beweis
 

Korollar 2.1   Sei $ \{X_n\}$ eine Markov-Kette. Dann gilt

$\displaystyle P(X_{n}=i_n\mid X_{n-1}=i_{n-1},\ldots,X_0=i_{0})= P(X_{n}=i_n\mid X_{n-1}=i_{n-1})\,,$ (5)

falls $ P(
X_{n-1}=i_{n-1},\ldots,X_0=i_{0})>0$.

Beweis
 

Beachte
 


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Ursa Pantle 2003-09-29