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Zählprozesse; Erneuerungsprozesse

Sei $ (\Omega,\mathcal{F},P)$ ein beliebiger Wahrscheinlichkeitsraum, und sei $ S_1,S_2,\ldots:\Omega\to[0,\infty)$ eine beliebige Folge von nichtnegativen Zufallsvariablen mit $ 0\le S_1\le S_2\le\ldots$.

In der Versicherungsmathematik können die Zufallsvariablen $ S_n$ Zeitpunkte modellieren, zu denen Schäden eines bestimmten Typs eintreten. Dies können beispielsweise Schäden sein, die durch Naturkatastrophen wie Erdbeben oder schwere Stürme verursacht werden.

Definition
$ \;$
  1. Der stochastische Prozess $ \{N_t,t\ge 0\}$ mit

    $\displaystyle N_t=\sum_{k=1}^\infty {1\hspace{-1mm}{\rm I}}(S_k\le t)$ (1)

    wird Zählprozess genannt, wobei $ {1\hspace{-1mm}{\rm I}}(A)$ der Indikator des Ereignisses $ A\in\mathcal{F}$ ist, d.h. $ {1\hspace{-1mm}{\rm I}}(A)(\omega)=1$, falls $ \omega\in A$, und $ {1\hspace{-1mm}{\rm I}}(A)(\omega)=0$, falls $ \omega\not\in A$.
  2. Sei $ T_1,T_2,\ldots:\Omega\to[0,\infty)$ eine Folge von unabhängigen und identisch verteilten Zufallsvariablen, die nur nichtnegative Werte annehmen.
    • Dann wird die Folge $ \{S_n, n=0,1,\ldots\}$ mit $ S_0=0$ und $ S_n=T_1+\ldots +T_n$ für $ n\ge 1$ ein Erneuerungspunktprozess genannt, wobei $ S_n$ der $ n$-te Erneuerungszeitpunkt heißt.
    • Der in (1) gegebene stochastische Prozess $ \{N_t,t\ge 0\}$ wird in diesem Fall Erneuerungszählprozess bzw. kurz Erneuerungsprozess genannt.
    • Dabei wird stets vorausgesetzt, dass die ,,Zwischenankunftszeiten'' $ T_n$ nicht mit Wahrscheinlichkeit 1 gleich Null sind, d.h., es gelte $ P(T_n>0)>0$ für jedes $ n\ge 1$.



Unterabschnitte
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Ursa Pantle 2005-07-13