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Zusammengesetzte Poisson-Prozesse

Wir verallgemeinern das mit Hilfe von (22) eingeführte Modell eines homogenen Poisson-Prozesses $ \{N_t,t\ge 0\}$, indem wir nun zulassen, dass die Sprunghöhen beliebige Zufallsvariablen sind, die nicht notwendig gleich Eins sein müssen.

Definition
$ \;$ Der stochastische Prozess $ \{X_t, t\ge 0\}$ mit

$\displaystyle X_t=\sum_{k=1}^\infty U_k{1\hspace{-1mm}{\rm I}}(S_k\le t) =\sum_{k=1}^{N_t}U_k$ (30)

heißt zusammengesetzter Poisson-Prozess mit den Charakteristiken $ (\lambda,\,F_U)$, wobei $ F_U$ die Verteilungsfunktion der Sprunghöhen $ U_1,U_2,\ldots$ bezeichnet.

Theorem 2.10   Sei $ \{X_t\}$ ein zusammengesetzter Poisson-Prozess mit den Charakteristiken $ (\lambda,F_U)$, so dass die momenterzeugende Funktion $ \hat m_U(s)={\mathbb{E}\,}\, {\rm e}^{sU_n}$ von $ U_n$ für jedes $ s\in\mathbb{R}$ wohldefiniert sei. Dann gilt:
(a)
$ \{X_t\}$ hat stationäre und unabhängige Zuwächse.
(b)
Für beliebige $ s\in\mathbb{R}$ und $ t\ge 0$ ist die momenterzeugende Funktion $ \hat m_{X_t}(s)={\mathbb{E}\,}\, {\rm e}^{sX_t}$ von $ X_t$ gegeben durch

$\displaystyle \hat m_{X_t}(s)={\rm e}^{\lambda t(\hat m_U(s)-1)}\,,$ (31)

und es gilt

$\displaystyle {\mathbb{E}\,}X_t =\lambda t\mu_U\,,\qquad {\rm Var\,}X_t=\lambda t\mu_U^{(2)}\,,$ (32)

wobei $ \mu_U={\mathbb{E}\,}U_n$ und $ \mu_U^{(2)}={\mathbb{E}\,}U_n^2$ die ersten beiden Momente der Sprunghöhen $ U_n$ sind.

Beweis
$ \;$

Beachte
$ \;$ Die Verteilung einer Zufallsvariablen, deren momenterzeugende Funktion die Form (31) hat, heißt zusammengesetzte Poisson-Verteilung mit den Charakteristiken $ (\lambda,F_U)$.


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Ursa Pantle 2005-07-13