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Verteilung des Maximums

In diesem Abschnitt setzen wir die Diskussion von Eigenschaften des Wiener-Prozesses fort, die mit relativ elementaren Hilfsmitteln gezeigt werden können. Dabei leiten wir zunächst eine obere Schranke für die Tailfunktion des Maximums $ \max_{t\in[0,1]}
X_t$ von Wiener-Prozessen in $ [0,1]$ her.

Später zeigen wir in Kapitel 3 mit den Techniken von Martingalen bzw. Lévy-Prozessen, dass diese Schranke ,,optimal'' ist, d.h., mit der Tailfunktion von $ \max_{t\in[0,1]}
X_t$ übereinstimmt.

Theorem 2.23   $ \;$

Beachte
 


Lemma 2.9   $ \;$ Für jedes $ k\ge 1$ und für beliebige $ t_1,\ldots,t_k\in[0,1]$ gilt

$\displaystyle \bigl(\widetilde X^{(n)}_{t_1},\ldots,\widetilde X^{(n)}_{t_k}\bigr)\stackrel{{\rm d}}{\longrightarrow} \bigl(X_{t_1},\ldots,X_{t_k}\bigr)$   $\displaystyle \mbox{für $n\to\infty$.}$ (26)

Beweis
 

Lemma 2.10   $ \;$ Sei $ \widetilde X^{(n)}=\max_{t\in[0,1]}\,\widetilde X_t^{(n)}$. Dann gilt

$\displaystyle \widetilde X^{(n)}=\;\frac{1}{\sqrt{n}}\;\max_{k=1,\ldots,n}\,S_k\qquad\forall\, n= 1,2,\ldots$ (27)

und

$\displaystyle \lim_{n\to\infty} P(\widetilde X^{(n)}\le x)=\; \sqrt{\frac{2}{\pi }}\;\int_0^x\,{\rm e}^{-y^2/2}\,{\rm d}y\qquad\forall \, x\ge 0\,.$ (28)

Beweis
 

Beweis von Theorem 2.23
 

Beachte
$ \;$ Sei $ \{X_t,\,t\ge 0\}$ ein Wiener-Prozess über $ (\Omega,\mathcal{F},P)$. Dabei setzen wir (wie stets in diesem Skript) voraus, dass $ (\Omega,\mathcal{F},P)$ ein vollständiger Wahrscheinlichkeitsraum ist, d.h.,

Aus Theorem 2.23 ergibt sich nun die folgende asymptotische Eigenschaft des Wiener-Prrozesses.

Korollar 2.4   Sei $ \{X_t,\,t\ge 0\}$ ein Wiener-Prozess. Dann gilt mit Wahrscheinlichkeit $ 1$

$\displaystyle \lim_{t\to\infty}\;\frac{X_t}{t}\;=0\,.$ (29)

Beweis
 


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Ursa Pantle 2005-07-13