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Lévy-Chintschin-Darstellung

In diesem Abschnitt zeigen wir, dass für jeden Lévy-Prozess $ \{X_t\}$ und für jedes $ t\ge 0$ die charakteristische Funktion der unbegrenzt teilbaren Zufallsvariablen $ X_t$ durch die Lévy-Chintschin-Formel (5) dargestellt werden kann.

Dabei zeigen wir zunächst, dass die charakteristische Funktion von $ X_t$ auf einfache Weise durch die charakteristische Funktion von $ X_1$ ausgedrückt werden kann. Hierfür benötigen wir den folgenden Hilfssatz.


Lemma 3.3   $ \;$ Sei $ \{X_t,\,t\ge 0\}$ ein stochastisch stetiger Prozess, d.h. für beliebige $ x>0$ und $ t_0\ge 0$ gelte

$\displaystyle \lim_{t\to t_0} P(\vert X_t-X_{t_0}\vert>x)=0\,.
$

Dann ist für jedes $ s\in\mathbb{R}$ durch $ t\to\varphi_{X_t}(s)$ eine stetige Abbildung von $ [0,\infty)$ nach $ \mathbb{C}$ gegeben.

Beweis
 

Theorem 3.3   $ \;$ Sei $ \{X_t,\,t\ge 0\}$ ein Lévy-Prozess. Dann ist für jedes $ t\ge 0$ die charakteristische Funktion $ \varphi_{X_t}$ von $ X_t$ gegeben durch

$\displaystyle \varphi_{X_t}(s)={\rm e}^{t\,\eta(s)}\qquad\forall\,s\in\mathbb{R}\,,$ (9)

wobei $ \eta:\mathbb{R}\to\mathbb{C}$ eine stetige Funktion ist. Insbesondere gilt somit $ \varphi_{X_t}(s)=(\varphi_{X_1}(s))^t$ für beliebige $ s\in\mathbb{R}$, $ t\ge 0$.

Beweis
 

Wir zeigen nun, dass für jeden Lévy-Prozess $ \{X_t\}$ die charakteristische Funktion von $ X_1$ durch die Lévy-Chintschin-Formel (5) dargestellt werden kann. Hierfür benötigen wir den folgenden Hilfssatz zur Charakterisierung der relativen Kompaktheit von Familien (gleichmäßig beschränkter) endlicher Maße.

Lemma 3.4   $ \;$ Sei $ \mu_1,\mu_2,\ldots$ eine Folge von endlichen Maßen, die über der Borel-$ \sigma$-Algebra $ \mathcal{B}(\mathbb{R})$ definiert sind. Falls $ \sup_{n\ge 1}\mu_n(\mathbb{R})<c$ für ein $ c<\infty$ und falls es für jedes $ \varepsilon>0$ eine kompakte Menge $ B_\varepsilon\in\mathcal{B}(\mathbb{R})$ gibt, so dass

$\displaystyle \sup_{n\ge 1} \mu_n(B_\varepsilon^c)\le\varepsilon\,,$ (13)

dann gibt es eine Teilfolge $ \mu_{n_1},\mu_{n_2},\ldots$ und ein endliches Maß $ \mu$ über $ \mathcal{B}(\mathbb{R})$, so dass für jede stetige und beschränkte Funktion $ f:\mathbb{R}\to\mathbb{C}$

$\displaystyle \lim_{k\to\infty}\int_\mathbb{R}f(y)\,\mu_{n_k}({\rm d}y)=\int_\mathbb{R}f(y)\,\mu({\rm d}y)\,.$ (14)

Der Beweis von Lemma 3.4 geht über den Rahmen dieser Vorlesung hinaus und wird deshalb weggelassen; er kann beispielsweise im Buch von A.V. Skorokhod (2005), S. 122-123 nachgelesen werden.

Theorem 3.4   $ \;$ Sei $ \{X_t,\,t\ge 0\}$ ein Lévy-Prozess. Dann gibt es Konstanten $ a\in\mathbb{R}$, $ b\ge 0$ und ein Lévy-Maß $ \nu$, so dass

$\displaystyle \varphi_{X_1}(s)=\exp\Bigl({\rm i}as-\;\frac{bs^2}{2}\;+\int_\mat...
...\rm I}}_{(-1,1)}(y)\bigr)\,\nu({\rm d}y)\Bigr) \qquad\forall\,s\in\mathbb{R}\,.$ (15)

Beweis
 

Korollar 3.1   $ \;$ Sei $ \{X_t,\,t\ge 0\}$ ein Lévy-Prozess. Dann sind sämtliche endlich-dimensionalen Verteilungen von $ \{X_t\}$ eindeutig durch die Lévy-Charakteristik $ (a,b,\nu)$ von $ X_1$ bestimmt.

Beweis
 



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Ursa Pantle 2005-07-13