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Unbegrenzte Teilbarkeit

Wir zeigen zunächst, dass für jeden Lévy-Prozess $ \{X_t\}$ und für jedes $ t\ge 0$ die Zufallsvariable $ X_t$ unbegrenzt teilbar ist, und geben dann in Abschnitt 3.1.2 eine Darstellungsformel für die charakteristische Funktion von $ X_t$ an.

Definition
$ \;$ Sei $ X:\Omega\to\mathbb{R}$ eine beliebige Zufallsvariable über einem Wahrscheinlichkeitsraum $ (\Omega,\mathcal{F},P)$. Man sagt, dass $ X$ bzw. die Verteilung $ P_X$ von $ X$ unbegrenzt teilbar ist, wenn es für jedes $ n\ge 1$ unabhängige und identisch verteilte Zufallsvariablen $ Y_1^{(n)},\ldots,Y_n^{(n)}:\Omega\to\mathbb{R}$ gibt mit $ X\stackrel{{\rm d}}{=}
Y_1^{(n)}+\ldots+Y_n^{(n)}$.

Theorem 3.1   $ \;$ Sei $ \{X_t,\,t\ge 0\}$ ein Lévy-Prozess. Dann ist die Zufallsvariable $ X_t$ für jedes $ t\ge 0$ unbegrenzt teilbar.

Beweis
 

Das folgende Lemma enthält ein einfaches (jedoch nützliches) Hilfsmittel zur Untersuchung von unbegrenzt teilbaren Zufallsvariablen.

Lemma 3.1   $ \;$ Die Zufallsvariable $ X:\Omega\to\mathbb{R}$ ist genau dann unbegrenzt teilbar, wenn sich die charakteristische Funktion $ \varphi_X$ von $ X$ für jedes $ n\ge 1$ darstellen lässt in der Form

$\displaystyle \varphi_X(s)=\bigl(\varphi_n(s)\bigr)^n\qquad\forall \, s\in\mathbb{R}\,,$ (1)

wobei $ \varphi_n$ die charakteristische Funktion einer Zufallsvariablen ist.

Beweis
 

Wir benötigen noch einen Stetigkeitssatz für charakteristische Funktionen, der eine (teilweise) Verschärfung von Theorem WR-5.20 ist und den wir hier ohne Beweis angeben.

Lemma 3.2    

Außerdem spielt der Begriff des Lévy-Maßes eine wichtige Rolle bei der Untersuchung von unbegrenzt teilbaren Verteilungen.

Definition
$ \;$ Sei $ \nu$ ein Maß über dem Messraum $ (\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}))$. Man sagt, dass $ \nu$ ein Lévy-Maß ist, wenn $ \nu(\{0\})=0$ und

$\displaystyle \int_\mathbb{R}\min\{y^2,1\}\,\nu({\rm d}y)<\infty\,.$ (2)

Beachte
 

Der folgende Ansatz zur Konstruktion charakteristischer Funktionen von unbegrenzt teilbaren Verteilungen wird in der Literatur die Lévy-Chintschin-Formel genannt.

Theorem 3.2   $ \;$ Seien $ a\in\mathbb{R}$ und $ b\ge 0$ beliebige Konstanten, und sei $ \nu$ ein beliebiges Lévy-Maß. Dann ist durch die Funktion $ \varphi:\mathbb{R}\to\mathbb{C}$ mit

$\displaystyle \varphi(s)=\exp\Bigl({\rm i}as-\;\frac{bs^2}{2}\;+\int_\mathbb{R}...
...m}{\rm I}}_{(-1,1)}(y)\bigr)\,\nu({\rm d}y)\Bigr) \qquad\forall\,s\in\mathbb{R}$ (5)

die charakteristische Funktion einer unbegrenzt teilbaren Zufallsvariablen gegeben.

Beweis
 

Beachte
$ \;$



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Ursa Pantle 2005-07-13