Lineare Transformation von normalverteilten
Zufallsvektoren
Bei der Untersuchung des multiplen Regressionsmodells mit
normalverteilten Störgrößen ist die folgende Eigenschaft von
Lineartransformationen normalverteilter Zufallsvektoren nützlich.
Sei
ein -dimensionaler
normalverteilter Zufallsvektor mit Erwartungswertvektor
und mit (positiv definiter) Kovarianzmatrix
.
Außerdem gelte , und
sei eine beliebige Matrix mit vollem Rang
bzw.
ein
beliebiger -dimensionaler Vektor.
Dann ist
ein (-dimensionaler)
normalverteilter Zufallsvektor mit
(47)
Beweis
Für jede natürliche Zahl , für jeden -dimensionalen
Zufallsvektor
und für jedes
gilt
Aus der in Theorem 3.8 hergeleiteten Formel
(42) und aus dem Eindeutigkeitssatz für die
charakteristische Funktion von normalverteilten Zufallsvektoren
folgt somit, daß
O.B.d.A. können (und werden) wir deshalb annehmen, daß
und
.
Ähnlich wie im Beweis von Theorem 3.8 ergibt sich
dann für die charakteristische Funktion
von
, daß für jedes
wobei
den Wert der
charakteristischen Funktion des normalverteilten Zufallsvektors
an der Stelle
bezeichnet.
Aus der Darstellungsformel (42) für die
charakteristische Funktion normalverteilter Zufallsvektoren ergibt
sich nun, daß
Mit anderen Worten: Die charakteristische Funktion von
stimmt mit der charakteristischen Funktion der
N
-Verteilung überein.
Aus dem Eindeutigkeitssatz für die charakteristische Funktion von
Zufallsvektoren folgt somit, daß
N
.
Beachte
Aus Theorem 3.9 ergibt sich insbesondere, daß sich
normalverteilte Zufallsvektoren durch Lineartransformation von
Vektoren konstruieren lassen, deren Komponenten unabhängige und
N-verteilte Zufallsvariablen sind.
Dabei ist der folgende Hilfssatz nützlich.
Lemma 3.11
Sei
eine symmetrische und positiv definite
Matrix. Dann gibt es eine reguläre Matrix
, so
daß
(48)
Beweis
Gemäß Lemma 3.8 sind sämtliche Eigenwerte
von
reelle (positive) Zahlen.