In Abschnitt 2.1.1 wurden keine spezifischen
Modellannahmen über die Störgrößen
benötigt.
Allerdings konnten deshalb in Abschnitt 2.1.1 auch
keine Güteeigenschaften der MKQ-Schätzer
,
(außer der Minimierung des mittleren quadratischen
Fehlers
) hergeleitet werden.
Nun setzen wir zusätzlich voraus, daß die Zufallsvariablen
unkorreliert sind und daß
(5)
für jedes
gilt, wobei
eine gewisse (im
allgemeinen unbekannte) Konstante ist.
Die Ausgangsvariablen
seien deterministisch,
d.h., es gelte
für fest vorgegebene (d.h.
bekannte) Zahlen
, wobei wir stets
voraussetzen, daß und daß nicht alle
gleich sind.
Für die Zielvariablen
gilt dann für jedes
(6)
und aus den allgemeinen Rechenregeln für Erwartungswert bzw.
Varianz (vgl. die Abschnitte WR-4.1 bzw. WR-4.2 der Vorlesung
,,Wahrscheinlichkeitsrechnung'') ergibt sich für jedes
(7)
Die Regressionskonstante und der Regressionskoeffizient
sollen nun mit einem linearen Schätzer aus den
beobachteten Realisierungen
der Zielvariablen
geschätzt werden.
Dabei verstehen wir unter einem linearen Schätzer eine
Linearkombination
der Zielvariablen, wobei
fest vorgegebene (d.h. bekannte) Konstanten
sind.
Theorem 2.2
Der lineare Schätzer
ist
genau dann ein erwartungstreuer Schätzer für , wenn
Es ist klar, daß diese Gleichung genau dann für alle
gilt, wenn die Bedingungen
(8) erfüllt sind.
Beachte
In Abschnitt I.2.3.5 der Vorlesung ,,Statistik I'' hatten wir
einen erwartungstreuen Schätzer besten erwartungstreuen Schätzer
genannt, wenn seine Varianz minimal ist.
Analog hierzu wird ein linearer erwartungstreuer Schätzer bester linearer erwartungstreuer Schätzer genannt, wenn es keinen
linearen erwartungstreuen Schätzer gibt, dessen Varianz kleiner
ist.
In der englischsprachigen Literatur ist es üblich, solche Schätzer
BLUE zu nennen (BLUE = best linear unbiased estimator).
Theorem 2.3
Der lineare Schätzer
ist
genau dann ein BLUE-Schätzer für , wenn die Konstanten
gegeben sind durch
(9)
Beweis
Weil mit den Störgrößen
auch die
Zielvariablen
unkorreliert sind, ergibt sich aus
der allgemeinen Formel für die Varianz der Summe von
unkorrelierten Zufallsvariablen (vgl. Theorem WR-4.13), daß
für beliebige Konstanten
.
Der Schätzer
ist also genau
dann ein BLUE-Schätzer für , wenn die Konstanten
so gewählt sind, daß die Bedingung
(8) erfüllt ist und daß die Summe
minimal ist.