Charakterisierung der Verteilungskonvergenz

• Sei $\mathcal{C}$ die Familie aller beschränkten stetigen Funktionen $\varphi:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$.
• Für jede Zufallsvariable $X:\Omega\to\mathbb{R}$ und für jedes $\varphi\in\mathcal{C}$ ist dann die zusammengesetzte Abbildung $\varphi(X)$ eine integrierbare Zufallsvariable, d.h. insbesondere, dass der Erwartungswert ${\mathbb{E}\,}\varphi(X)$ wohldefiniert ist.

Ein sehr nützliches Konvergenzkriterium ist durch das folgende Theorem gegeben.

Theorem 5.7   Seien $X,X_1,X_2,\ldots:\Omega\to\mathbb{R}$ beliebige Zufallsvariablen. Dann gilt $X_n\stackrel{{\rm d}}{\longrightarrow}X$ genau dann, wenn für jedes $\varphi\in\mathcal{C}$

$$\lim\limits_{n\to\infty}{\mathbb{E}\,}\varphi(X_n)={\mathbb{E}\,}\varphi(X)\,.$$ (11)

Beweis

 

1. Notwendigkeit von (11)
   • Es gelte $X_n\stackrel{{\rm d}}{\longrightarrow}X$. Wir zeigen, dass dann (11) für jedes $\varphi\in\mathcal{C}$ gilt.
   • Weil $\varphi\in\mathcal{C}$ beschränkt ist, gilt $b=\sup_{x\in\mathbb{R}}\vert\varphi(x)\vert<\infty$.
   • Für jedes $\varepsilon>0$ sei nun $\nu>0$ so gewählt, dass $\nu$ und $-\nu$ Stetigkeitspunkte von $F_X$ sind und dass $P(\vert X\vert>\nu)<\varepsilon b^{-1}$.
   • Dies ist möglich, weil $F_X$ höchstens abzählbar viele Unstetigkeitspunkte hat und weil
     $$\lim_{x\to\infty}P(\vert X\vert>x)=0\,.$$

   • Wegen $X_n\stackrel{{\rm d}}{\longrightarrow}X$ gilt außerdem $P(\vert X_n\vert>\nu)<2\varepsilon b^{-1}$ für jedes hinreichend große $n$.
   • Weil $\varphi\in\mathcal{C}$ beschränkt und stetig ist, lässt sich $\varphi$ für jedes Paar $\varepsilon,\nu>0$ durch eine Treppenfunktion $g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ mit
     $$g(x)=\sum\limits_{i=1}^k a_i{1\hspace{-1mm}{\rm I}}_{(x_{i-1},x_i]}(x)\,,\qquad a_1,\ldots,a_k\in\mathbb{R}\,,\qquad -\nu=x_0<\ldots<x_k=\nu$$
     approximieren, so dass $x_0,\ldots,x_k$ Stetigkeitspunkte von $F_X$ sind und
     $$\sup\limits_{x\in[-\nu,\nu]}\vert\varphi(x)-g(x)\vert<\varepsilon$$
     gilt.
   • Für jedes hinreichend große $n$ gilt dann
     

     $${ \vert{\mathbb{E}\,}\varphi(X_n)-{\mathbb{E}\,}\varphi(X)\vert}$$

     $$\le \vert{\mathbb{E}\,}(\varphi(X_n){1\hspace{-1mm}{\rm I}}_{\{\vert ... ...{\mathbb{E}\,}(\varphi(X){1\hspace{-1mm}{\rm I}}_{\{\vert X\vert\le\nu\}})\vert$$

     $$+{\mathbb{E}\,}(\vert\varphi(X_n)\vert{1\hspace{-1mm}{\rm I}}_{\{... ...athbb{E}\,}(\vert\varphi(X)\vert{1\hspace{-1mm}{\rm I}}_{\{\vert X\vert>\nu\}})$$

     $$\le \vert{\mathbb{E}\,}(\varphi(X_n){1\hspace{-1mm}{\rm I}}_{\{\vert ... ...(\varphi(X){1\hspace{-1mm}{\rm I}}_{\{\vert X\vert\le\nu\}})\vert +3\varepsilon$$

     $$\le 3\varepsilon + \vert{\mathbb{E}\,}(\varphi(X_n){1\hspace{-1mm}{\rm I}}_{\{\vert X_n\vert\le\nu\}})-{\mathbb{E}\,} g(X_n)\vert$$

     $$+\vert{\mathbb{E}\,}(\varphi(X){1\hspace{-1mm}{\rm I}}_{\{\vert X\vert\le\nu\}})-{\mathbb{E}\,}g(X)\vert$$

     $$+\vert{\mathbb{E}\,}g(X_n)-{\mathbb{E}\,}g(X)\vert$$

     $$\le 5\varepsilon + \vert{\mathbb{E}\,}g(X_n)-{\mathbb{E}\,}g(X)\vert\,.$$

     
     

   • Weil $X_n\stackrel{{\rm d}}{\longrightarrow}X$ und weil $x_0,\ldots,x_k$ Stetigkeitspunkte von $F_X$ sind, gilt außerdem
     

     $${\mathbb{E}\,}g(X_n) = \sum\limits_{i=1}^k a_i \bigl(F_{X_n}(x_i)-F_{X_n}(x_{i-1})\bigr)$$

     $$\to \sum\limits_{i=1}^k a_i \bigl(F_{X}(x_i)-F_{X}(x_{i-1})\bigr)$$

     $$= {\mathbb{E}\,}g(X)\,.$$

     
     

   • Also gilt $\vert{\mathbb{E}\,}\varphi(X_n)-{\mathbb{E}\,}\varphi(X)\vert\le 6\varepsilon$ für jedes hinreichend große $n$.
   • Weil $\varepsilon>0$ beliebig klein gewählt werden kann, folgt hieraus die Gültigkeit von (11) für jedes $\varphi\in\mathcal{C}$.
2. Hinlänglichkeit von (11)
   • Es gelte nun (11) für jedes $\varphi\in\mathcal{C}$.
   • Sei $x\in\mathbb{R}$ ein Stetigkeitspunkt von $F_X$ und sei $\varepsilon>0$ eine beliebige, jedoch fest vorgegebene Zahl.
   • Dann gibt es eine Funktion $\varphi\in\mathcal{C}$, so dass für jedes $y\in\mathbb{R}$
     $${1\hspace{-1mm}{\rm I}}_{(-\infty,x]}(y)\le \varphi(y)\le{1\hspace{-1mm}{\rm I}}_{(-\infty,x+\varepsilon]}(y)$$

   • und folglich
     $$F_{X_n}(x)={\mathbb{E}\,}{1\hspace{-1mm}{\rm I}}_{(-\infty,x]}(X_n)\le{\mathbb{E}\,}\varphi(X_n)$$
     bzw.
     $${\mathbb{E}\,}\varphi(X)\le{\mathbb{E}\,} {1\hspace{-1mm}{\rm I}}_{(-\infty,x+\varepsilon]}(X)=F_X(x+\varepsilon)\,.$$

   • Hieraus und aus (11) ergibt sich, dass
     $$\limsup\limits_{n\to\infty} F_{X_n}(x)\le\lim\limits_{n\to\infty} {\mathbb{E}\,}\varphi(X_n)={\mathbb{E}\,}\varphi(X)\le F_X(x+\varepsilon)\,.$$

   • Weil $\varepsilon>0$ beliebig klein gewählt werden kann und weil $F_X$ rechtsstetig ist, ergibt dies

     $$\limsup\limits_{n\to\infty} F_{X_n}(x) \le F_X(x)\,.$$ (12)

     
     

   • Sei nun $\varphi\in\mathcal{C}$ eine Funktion, so dass für jedes $y\in\mathbb{R}$
     $${1\hspace{-1mm}{\rm I}}_{(-\infty,x-\varepsilon]}(y)\le \varphi(y)\le{1\hspace{-1mm}{\rm I}}_{(-\infty,x]}(y)$$

   • Dann gilt
     $$F_X(x-\varepsilon)\le {\mathbb{E}\,}\varphi(X)=\lim\limits_{n\to\infty} {\mathbb{E}\,} \varphi(X_n)\le \liminf\limits_{n\to\infty} F_{X_n}(x)\,.$$

   • Weil $x\in\mathbb{R}$ ein Stetigkeitspunkt von $F_X$ ist, ergibt dies
     $$F_X(x)=\lim\limits_{\varepsilon\downarrow 0}F_X(x-\varepsilon)\le \liminf\limits_{n\to\infty} F_{X_n}(x)\,.$$

   • Hieraus und aus (12) folgt, dass $F_{X_n}(x)\to F_X(x)$.
     
     $\Box$

Beachte

 

• Aus dem zweiten Teil des Beweises von Theorem 5.7 ergibt sich, dass die Gültigkeit von (11) nicht notwendig für jede Funktion aus $\mathcal{C}$ gefordert werden muss.
• Es genügt beispielsweise, anstelle von $\mathcal{C}$ die kleinere Klasse $\mathcal{C}^{(k)}$ der beschränkten und $k$-mal gleichmäßig stetig differenzierbaren Funktionen $\varphi:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ zu betrachten, wobei $k\in\mathbb{N}$ eine beliebige, jedoch fest vorgegebene natürliche Zahl ist.
• Dies führt zu der folgenden Aussage.

Korollar 5.3   Seien $X,X_1,X_2,\ldots:\Omega\to\mathbb{R}$ beliebige Zufallsvariablen. Falls $(\ref{for.cha.kon})$ für jedes $\varphi\in\mathcal{C}^{(k)}$ gilt, dann gilt $X_n\stackrel{{\rm d}}{\longrightarrow}X$.