Next: Wahrscheinlichkeitsmaße
Up: Ereignisse und Wahrscheinlichkeiten
Previous: Ereignisse als Mengen
  Contents
Ereignissysteme
Aus gegebenen Ereignissen
kann man durch deren
,,Verknüpfung'' weitere Ereignisse bilden. Dies wird durch die
folgenden Mengenoperationen modelliert.
- Definition
-
- Vereinigungsmenge
: Menge aller Elemente, die zu
oder gehören.
: Menge
aller Elemente, die zu mindestens einer der Mengen gehören.
- Schnittmenge
: Menge aller Elemente, die zu
und gehören.
: Menge
aller Elemente, die zu jeder der Mengen gehören.
- Differenzmenge
: Menge aller Elemente
von , die nicht zu gehören.
Spezialfall:
( Komplement)
- Symmetrische Mengendifferenz
: Menge aller Elemente, die zu oder , jedoch
nicht zu beiden gehören.
- Beispiel
- Sei
.
Dann gilt
;
.
- Beachte
-
Lemma 2.1
Für beliebige Mengen
gilt:
- Beweis
- klar
- Definition
- Die Mengen
heißen
paarweise disjunkt, falls
für beliebige
.
- Beachte
-
Jede beliebige Folge von Mengen
kann man in eine Folge
von paarweise disjunkten Mengen
überführen:
Sei
Dann gilt:
für , und
- Weitere Eigenschaften
- Sei
. Dann gelten
- Eindeutigkeitsgesetze:
(allgemein: falls
, dann gilt
)
- de Morgansche Gesetze:
- Assoziativ-Gesetze:
- Distributiv-Gesetze:
Es ist oft nicht zweckmäßig, alle möglichen Teilmengen von
in die Modellierung einzubeziehen, sondern man betrachtet
nur die Familie derjenigen Teilmengen von , deren
Wahrscheinlichkeiten tatsächlich von Interesse sind. Diese
Mengenfamilie soll jedoch abgeschlossen sein bezüglich der
Operationen
, was durch die folgende
Begriffsbildung erreicht wird.
- Definition
- Eine nichtleere Familie
von Teilmengen
von heißt Algebra, falls
- (A1)
-
- (A2)
-
- Beispiel
-
ist eine Algebra,
ist dagegen keine Algebra.
- Beweis
-
- Weil
nicht leer ist, gibt es ein
.
Also gilt
wegen (A1) bzw.
wegen (A2) bzw.
wegen (A1)
-
-
- Induktion
Um Grenzwerte bilden zu können, ist es erforderlich, dass das
Mengensystem
nicht nur abgeschlossen ist bezüglich
Vereinigung bzw. Durchschnitt von endlich vielen Mengen,
sondern auch bezüglich Vereinigung bzw. Durchschnitt von abzählbar unendlich vielen Mengen. Dies wird durch die Hinzunahme
der folgenden Bedingung erreicht.
- Definition
- Eine Algebra
heißt -Algebra,
falls zusätzlich
- (A3)
-
gilt.
- Beachte
-
- Das Paar
heißt Messraum, falls
eine -Algebra ist.
- Sei
, und sei
die Familie
derjenigen Teilmengen von
, so dass entweder
oder nur endlich viele Elemente hat. Das
Mengensystem
ist eine Algebra, jedoch keine
-Algebra.
- Für jedes ist die Potenzmenge
, d.h.
die Familie
aller Teilmengen von , stets eine -Algebra.
- Falls endlich oder abzählbar unendlich ist, kann
gewählt werden. Falls nicht abzählbar ist
(z.B.
oder
dann muss eine kleinere -Algebra
betrachtet werden (nicht
).
- Definition
- Seien
beliebige Teilmengen von
. Dann heißt die Menge
|
(1) |
der Limes Superior der Folge , und
|
(2) |
heißt der Limes Inferior der Folge . Außerdem sagt man, dass
die Folge gegen die Menge konvergiert,
falls
|
(3) |
- Schreibweise
- Falls die Folge gegen die Menge konvergiert,
d.h., falls (3) gilt, dann schreiben wir
bzw. einfach .
Beweis
Wir zeigen nur die erste Teilaussage. Der Beweis der
zweiten Teilaussage ist analog. Sei
. Für jedes gilt dann
.
Also ist
. Andererseits gilt
, d.h.,
.
Next: Wahrscheinlichkeitsmaße
Up: Ereignisse und Wahrscheinlichkeiten
Previous: Ereignisse als Mengen
  Contents
Ursa Pantle
2004-05-10