Normalverteilte Störgrößen

• Zusätzlich zu den Modellannahmen, die am Anfang von Kapitel 2 formuliert worden sind, setzen wir in diesem Abschnitt noch voraus, dass die zufälligen Störgrößen $\varepsilon _1,\ldots,\varepsilon _n:\Omega\to\mathbb{R}$ unabhängig und normalverteilt sind, d.h. $\varepsilon _i\sim {\rm N} (0,\sigma^2)$ für jedes $i=1,\ldots,n$.
• Darüber hinaus gelte auch ${ {\rm rg}}({\mathbf{X}})=m$ und $n>m$.

• Gemäß Theorem 1.3 ist dann die Verteilung des Vektors ${\mathbf{Y}}={\mathbf{X}}{\boldsymbol{\beta}}+{\boldsymbol{\varepsilon }}$ der Zielvariablen bzw. des KQ-Schätzers $\widehat{\boldsymbol{\beta}}=({\mathbf{X}}^\top{\mathbf{X}})^{-1}{\mathbf{X}}^\top{\mathbf{Y}}$ gegeben durch

  $${\mathbf{Y}}\sim {\rm N}({\mathbf{X}}{\boldsymbol{\beta}}, \sigma^2{\mathbf{I}})$$ (26)

  
  
  und

  $$\widehat{\boldsymbol{\beta}}\sim {\rm N}\bigl({\boldsymbol{\beta}}, \sigma^2({\mathbf{X}}^\top{\mathbf{X}})^{-1}\bigr) .$$ (27)