Symmetrie und Definitheit; Faktorisierung

Lemma 1.6   Sei ${\mathbf{A}}$ eine symmetrische und positiv definite $n\times n$ Matrix, d.h., es gelte ${\mathbf{A}}={\mathbf{A}}^\top$ und ${\mathbf{x}}^\top{\mathbf{A}}{\mathbf{x}}>0$ für jeden Vektor ${\mathbf{x}}=(x_1,\ldots,x_n)^\top\in\mathbb{R}^n$ mit ${\mathbf{x}}\not={\mathbf{o}}$. Dann ist ${\mathbf{A}}$ invertierbar, und es gibt es eine invertierbare $n\times n$ Matrix ${\mathbf{H}}$, so dass

$${\mathbf{A}}={\mathbf{H}}{\mathbf{H}}^\top .$$ (8)

Beweis

$\;$ Wir zeigen nur die Gültigkeit der zweiten Teilaussage.

• Aus Lemma 1.5 ergibt sich, dass ${\mathbf{V}}^\top{\mathbf{A}}{\mathbf{V}}={\boldsymbol{\Lambda}}$ bzw.

  $${\mathbf{A}}=({\mathbf{V}}^\top)^{-1}{\boldsymbol{\Lambda}}{\mathbf{V}}^{-1} ,$$ (9)

  
  
  • wobei ${\mathbf{V}}=({\mathbf{v}}_1,\ldots,{\mathbf{v}}_n)$ die $n\times n$ Matrix ist, die aus den orthonormalen Eigenvektoren ${\mathbf{v}}_1,\ldots,{\mathbf{v}}_n$ besteht,
  • und ${\boldsymbol{\Lambda}}={\rm diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)$ die $n\times n$ Diagonalmatrix bezeichnet, die aus den (positiven) Eigenwerten $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$ gebildet wird.
• Sei nun ${\boldsymbol{\Lambda}}^{1/2}$ die $n\times n$ Diagonalmatrix ${\boldsymbol{\Lambda}}^{1/2}={\rm diag}(\sqrt{\lambda_1},\ldots,\sqrt{\lambda_n})$, und sei

  $${\mathbf{H}}=({\mathbf{V}}^\top)^{-1}{\boldsymbol{\Lambda}}^{1/2}{\mathbf{V}}^\top .$$ (10)

  
  

• Es ist klar, dass die in (10) gegebene Matrix ${\mathbf{H}}$ invertierbar ist. Wegen ${\mathbf{V}}^\top{\mathbf{V}}={\mathbf{I}}$ gilt außerdem
  

  $${\mathbf{H}}{\mathbf{H}}^\top = ({\mathbf{V}}^\top)^{-1}{\boldsymbol{\Lambda}}^{1/2}{\mathbf{V}}^... ...1/2}{\mathbf{V}}^\top{\mathbf{V}}{\boldsymbol{\Lambda}}^{1/2} {\mathbf{V}}^{-1}$$

  $$= ({\mathbf{V}}^\top)^{-1}{\boldsymbol{\Lambda}}^{1/2} {\boldsymbol... ...hbf{V}}^\top)^{-1}{\boldsymbol{\Lambda}}{\mathbf{V}}^{-1} \;=\; {\mathbf{A}} ,$$

  
  
  wobei sich die letzte Gleichheit aus (9) ergibt.
  
  $\Box$

Beachte

 

• Jede invertierbare $n\times n$ Matrix ${\mathbf{H}}$ mit ${\mathbf{A}}={\mathbf{H}}{\mathbf{H}}^\top$ wird Quadratwurzel von ${\mathbf{A}}$ genannt und mit ${\mathbf{A}}^{1/2}$ bezeichnet.
• Mit Hilfe der Cholesky-Zerlegung für symmetrische und positiv definite Matrizen kann man zeigen, dass es eine (eindeutig bestimmte) untere Dreiecksmatrix ${\mathbf{H}}$ mit ${\mathbf{A}}={\mathbf{H}}{\mathbf{H}}^\top$ gibt; vgl. die Vorlesung ,,Numerik 1a'' von K. Urban (Universítät Ulm, Sommersemester 2005).

Die folgende Eigenschaft symmetrischer Matrizen ist eine Verallgemeinerung von Lemma 1.6.

Lemma 1.7   Sei ${\mathbf{A}}$ eine symmetrische und nichtnegativ definite $n\times n$ Matrix, d.h., es gelte ${\mathbf{A}}={\mathbf{A}}^\top$ und ${\mathbf{x}}^\top{\mathbf{A}}{\mathbf{x}}\ge 0$ für jeden Vektor ${\mathbf{x}}=(x_1,\ldots,x_n)^\top\in\mathbb{R}^n$. Sei nun ${ {\rm rg}}({\mathbf{A}})=r$ $\bigl(\le n\bigr)$. Dann gibt es eine $n\times r$ Matrix ${\mathbf{H}}$ mit ${ {\rm rg}}({\mathbf{H}})=r$, so dass ${\mathbf{A}}={\mathbf{H}}{\mathbf{H}}^\top$.

Der Beweis von Lemma 1.7 verläuft ähnlich wie der Beweis von Lemma 1.6.

Lemma 1.8    

• Seien $m,r\in\mathbb{N}$ beliebige natürliche Zahlen mit $1\le r\le m$. Sei ${\mathbf{A}}$ eine symmetrische und positiv definite $m\times m$ Matrix, und sei ${\mathbf{B}}$ eine $r\times m$ Matrix mit vollem Rang ${ {\rm rg}}({\mathbf{B}})=r$.
• Dann sind auch die Matrizen ${\mathbf{B}}{\mathbf{A}}{\mathbf{B}}^\top$ und ${\mathbf{A}}^{-1}$ positiv definit.

Beweis

 

• Wegen des vollen Ranges von ${\mathbf{B}}^\top$ gilt ${\mathbf{B}}^\top{\mathbf{x}}\not={\mathbf{o}}$ für jedes ${\mathbf{x}}\in\mathbb{R}^r$ mit ${\mathbf{x}}\not={\mathbf{o}}$.
• Weil ${\mathbf{A}}$ positiv definit ist, gilt damit auch
  $${\mathbf{x}}^\top\bigl({\mathbf{B}}{\mathbf{A}}{\mathbf{B}}^\top\... ...mathbf{B}}^\top{\mathbf{x}})^\top{\mathbf{A}}({\mathbf{B}}^\top{\mathbf{x}})>0$$
  für jedes ${\mathbf{x}}\in\mathbb{R}^r$ mit ${\mathbf{x}}\not={\mathbf{o}}$, d.h., ${\mathbf{B}}{\mathbf{A}}{\mathbf{B}}^\top$ ist positiv definit.
• Für ${\mathbf{B}}={\mathbf{A}}^{-1}$ ergibt sich hieraus insbesondere, dass
  $${\mathbf{A}}^{-1}={\mathbf{A}}^{-1}\bigr({\mathbf{A}}{\mathbf{A}}^{-1}\bigr) ={\mathbf{A}}^{-1}{\mathbf{A}}\bigl({\mathbf{A}}^{-1}\bigr)^\top$$
  positiv definit ist.
  
  $\Box$