Binomialtest

• Der in Abschnitt 5.2 betrachtete $\chi ^2$-Anpassungstest kann durch den folgenden Binomialtest ersetzt werden, wenn $r=2$, d.h., wenn nur zwei Klassen betrachtet werden (beispielsweise bei binären Alternativdaten).
  • Wir zerlegen also den Wertebereich der (unabhängigen und identisch verteilten) Stichprobenvariablen $X_1,\ldots,X_n$ in zwei Teilmengen $(a_1,b_1]$ und $(a_2,b_2]$, so dass
    $$(a_1,b_1]\cap (a_2,b_2]=\emptyset$$   und$$\qquad\mathbb{P}\bigl(X_1\in (a_1,b_1]\cup (a_2,b_2]\bigr)=1 ,$$
    und betrachten die ,,Klassenstärke''
    $$T(X_1,\ldots,X_n)=\char93 \{i: 1\le i\le n, a_1<X_i\le b_1\} .$$

  • Man kann sich leicht überlegen, dass $T=T(X_1,\ldots,X_n)$ binomialverteilt ist, d.h.,

    $$T\sim{\rm Bin}(n,p) , \mbox{wobei $p=\mathbb{P}(a_1<X_1\le b_1)$.}$$ (1)

    
    

• Wir betrachten zunächst das Testproblem $H_0: p=p_0$ versus $H_1: p\not=p_0$, wobei $p_0\in(0,1)$ eine beliebige positive Zahl ist.
  • Wegen (1) wird $H_0$ abgelehnt, wenn $T\le t_{\alpha_1}$ oder $T\ge t_{1-\alpha_2}$,
  • wobei die ,,kritischen Werte'' $t_{\alpha_1}$ und $t_{1-\alpha_2}$ für beliebige $\alpha_1,\alpha_2\in(0,1)$ mit $\alpha_1+\alpha_2=\alpha$ gegeben sind durch
    

    $$t_{\alpha_1} = \max\{t\in\mathbb{R}: \mathbb{P}_{p_0}(T\le t)\le\alpha_1\}$$

    $$= \max\Bigl\{k\in\{0,1,\ldots,n\}: \sum\limits_{i=0}^k {n\choose i} p^{ i}_0(1-p_0)^{n-i}\le\alpha_1\Bigr\}$$

    
    
    bzw.
    

    $$t_{1-\alpha_2} = \min\{t\in\mathbb{R}: \mathbb{P}_{p_0}(T\ge t) \le\alpha_2\}$$

    $$= \min\Bigl\{k\in\{0,1,\ldots,n\}: \sum\limits_{i=k}^n {n\choose i} p^{ i}_0(1-p_0)^{n-i}\le\alpha_2\Bigr\} .$$

    
    

  • Für $p_0=0.5$ wird dabei normalerweise $\alpha_1=\alpha_2=\alpha/2$ gewählt. Wenn $p_0$ nahe bei 0 bzw. $1$ liegt, dann ist es zweckmäßig $\alpha_1$ kleiner bzw. größer als $\alpha_2$ zu wählen.
  • Die Quantile $t_{\alpha_1}$ bzw. $t_{1-\alpha_2}$ der Binomialverteilung Bin$(n,p_0)$ können entweder aus Tabellen entnommen oder per Monte-Carlo-Simulation bestimmt werden.
• Das (einseitige) Testproblem $H_0: p\le p_0$ versus $H_1: p>p_0$ kann ähnlich behandelt werden. Dabei wird $H_0$ abgelehnt, wenn $T\ge t_{1-\alpha}$.
• Völlig analog ergibt sich eine Enscheidungsregel für das (einseitige) Testproblem $H_0: p\ge p_0$ versus $H_1: p<p_0$, wobei $H_0$ abgelehnt wird, wenn $T\le t_\alpha$.

Beachte

 

• Der oben beschriebene Binomialtest wird auch Vorzeichentest genannt, weil die Bildung von 2 Klassen als Binarisierung der ursprünglich vorliegenden Daten aufgefasst werden kann.
• Bei den beiden einseitigen Testproblemen erfolgt die Bestimmung der kritischen Werte $t_{1-\alpha}$ bzw. $t_\alpha$ für $p=p_0$, obwohl die Nullhypothese $H_0: p\le p_0$ bzw. $H_0: p\ge p_0$ lautet.
  • Die Tatsache, dass dennoch die Werte $t_{1-\alpha}$ bzw. $t_\alpha$ betrachtet werden, steht nicht damit im Widerspruch, dass für jedes einzelne $p<p_0$ bzw. $p>p_0$ der kritische Wert kleiner als $t_{1-\alpha}$ bzw. größer als $t_\alpha$ wäre und dass dann $H_0$ öfter abgelehnt werden müsste.
  • Die Erklärung für die Wahl der kritischen Werte $t_{1-\alpha}$ bzw. $t_\alpha$ ist, dass nicht ein einzelnes $p$ mit $p<p_0$ bzw. $p>p_0$ betrachtet wird, sondern dass $p$ beliebig nahe bei $p_0$ liegen kann und dass insbesondere auch $p=p_0$ zugelassen wird.
• Wenn der Stichprobenumfang $n$ groß ist und wenn $p_0$ nahe bei 0 oder $1$ liegt,
  • dann ist die direkte Berechnung der Quantile $t_{1-\alpha}$ bzw. $t_\alpha$ der Binomialverteilung Bin$(n,p_0)$ schwierig.
  • Aus dem Gesetz der seltenen Ereignisse (vgl. Abschnitt WR-3.2.2) ergibt sich, dass $t_{1-\alpha}$ bzw. $t_\alpha$ in diesem Fall durch Quantile der Poisson-Verteilung Poi$(\lambda)$ approximiert werden können, wobei $\lambda=np_0$ bzw. $\lambda=n(1-p_0)$.
• Außerdem kann $t_{1-\alpha}$ bzw. $t_\alpha$ für jedes beliebige $p_0\in(0,1)$ durch geeignet transformierte Quantile der N$(0,1)$-Verteilung approximiert werden können, wenn der Stichprobenumfang $n$ ,,hinreichend groß'' ist.
  • Aus dem zentralen Grenzwertsatz von DeMoivre-Laplace (vgl. Theorem WR-3.6) ergibt sich dann, dass die transformierte Testgröße
    $$T^\prime=\frac{T-np_0}{\sqrt{np_0(1-p_0)}}$$
    näherungsweise N$(0,1)$-verteilt ist, d.h., dass
    $$\mathbb{P}(T\le t)=\mathbb{P}(T^\prime\le t^\prime)\approx \Phi(t^\prime) ,$$   $$\mbox{wobei $\;\; t^\prime=\displaystyle\;\frac{t-np_0}{\sqrt{np_0(1-p_0)}}$}$$$$$$
    und $\Phi:\mathbb{R}\to[0,1]$ die Verteilungsfunktion der N$(0,1)$-Verteilung ist.
  • Es gilt also, dass $t_\alpha\approx np_0+z_\alpha\sqrt{np_0(1-p_0)}$, wobei $z_\alpha$ das $\alpha$-Quantil der N$(0,1)$-Verteilung ist.
• Als ein mögliches Kriterium für ,,hinreichend groß'' werden dabei in der Literatur beispielsweise die Bedingungen $n\ge 20$ und $10\le np_0\le n-10$ angegeben.
  • Bei der Untersuchung des (zweiseitigen) Testproblems $H_0: p=p_0$ versus $H_1: p\not=p_0$ wird dann $H_0$ abgelehnt, wenn
    $$T\le np_0+z_{\alpha_1}\sqrt{np_0(1-p_0)}$$    oder$$\qquad T\ge np_0+z_{1-\alpha_2}\sqrt{np_0(1-p_0)} .$$

  • Ähnliche Näherungsformeln ergeben sich für die kritischen Werte der obenerwähnten einseitigen Tests.

Beispiel

 

• Die Verteilungsfunktion $F:\mathbb{R}\to[0,1]$ der Stichprobenvariablen $X_1,\ldots,X_n$ sei stetig, und es sei $\gamma_p$ das $p$-Quantil von $F$, d.h., es gelte $F(\gamma_p)=p$ für $p\in(0,1)$.
• Um die Hypothese $H_0: \gamma_p=\gamma_p^0$ zu testen, kann man die ,,vergröberte'' Zufallsstichprobe $(Y_1,\ldots,Y_n)$ betrachten mit
  $$Y_i=\left\{\begin{array}{ll} 1 , & \mbox{wenn $X_i\le \gamma_p$,}\\ 0 , & \mbox{wenn $X_i> \gamma_p$.} \end{array}\right.$$

• Dann gilt $Y_i\sim{\rm Bin}(1,p)$ für jedes $i=1,\ldots,n$, und die Hypothese $H_0: \gamma_p=\gamma_p^0$ bezüglich $(X_1,\ldots,X_n)$ ist äquivalent mit der Hypothese $H_0: p=p_0$ bezüglich $(Y_1,\ldots,Y_n)$.
• Mit dem Binomialtest kann also insbesondere die Hypothese $H_0: \gamma_{0.5}=0$ getestet werden.