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Diskrete Zufallsvariable;
Wahrscheinlichkeitsfunktion
Wir unterscheiden 2 (Grund-) Typen
von Zufallsvariablen: diskrete und absolutstetige Zufallsvariable.
- Definition 3.3
Die Zufallsvariable
(bzw. ihre Verteilung)
heißt diskret, falls es eine abzählbare Teilmenge
gibt, so daß
.
- Beachte
Der Begriff der absolutstetigen Zufallsvariable wird
später in Definition 3.6 eingeführt. Wir erwähnen jedoch
schon jetzt ein wichtiges Unterscheidungsmerkmal:
- diskrete Zufallsvariable haben einen abzählbaren Wertebereich,
z.B.
z.B. sei
Augensumme bei zweimaligem Würfeln
- absolutstetige Zufallsvariable haben einen überabzählbaren Wertebereich,
z.B.
z.B. Roulette mit drehbarem Zeiger und ,,kontinuierlicher'' Skala, wobei
= Wert des Spiels = Winkel des Zeigers, d.h.
- Definition 3.4
Sei
eine diskrete Zufallsvariable, d.h., es gebe eine
abzählbare Menge
, so daß
. Dann heißt die Folge
mit
Wahrscheinlichkeitsfunktion
(bzw. Zähldichte) von
.
- Beachte
-
- Für jede Wahrscheinlichkeitsfunktion
gilt
für jedes
und
.
- Die Verteilung einer diskreten Zufallsvariablen
wird eindeutig
durch die Wahrscheinlichkeitsfunktion
bestimmt.
Für jedes
heißt die Zahl
Einzelwahrscheinlichkeit von
.
- Beispiele
-
- zweimaliges Würfeln
- Bernoulli-Schema
- Einmaliger Münzwurf:
, ,,0'' = Wappen,
,,1'' = Zahl
-maliger Münzwurf: Für
setzen wir
, wobei
im Fall einer fairen Münze bzw.
allgemein
und
.
- Bei identischen Versuchsbedingungen nehmen wir an, daß
.
- Unabhängige Versuche modellieren wir durch den Ansatz
mit
wobei
das sogenannte Produktmaß auf
ist, für das gilt:
.
- Sei
ein
beliebiges Elementarereignis. Dann gilt
- Für
mit
und
gilt dann insbesondere
- Deuten ,,1'' als Erfolg und ,,0'' als Mißerfolg.
- Sei
Anzahl der Erfolge bei
Versuchen. Falls
, dann gilt
- Sprechweise:
ist binomialverteilt mit den Parametern
und
.
- Spezialfall: Falls
, dann sagen wir, daß
Bernoulli-verteilt ist.
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Roland Maier
2001-08-20