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Verteilung von Zufallsvariablen

Die Regularitätsbedingung (1) in Definition 3.1 kann durch die folgende (scheinbar schärfere, in Wirklichkeit jedoch äquivalente) Bedingung ersetzt werden: Für jede Zufallsvariable $ X:\Omega\to\mathbb{R}$ gilt

$\displaystyle \left\{ \omega :\omega \in \Omega ,X(\omega )\in B\right\} \in
\mathcal{F}\qquad \forall B\in \mathcal{B}(\mathbb{R})\,.$

Dies führt zu der folgenden Begriffsbildung.

Definition 3.2
$ \;$ Sei $ (\Omega ,\mathcal{F},P)$ ein beliebiger Wahrscheinlichkeitsraum, und $ X:\Omega \rightarrow \mathbb{R}$ sei eine beliebige Zufallsvariable. Die Verteilung der Zufallsvariable $ X$ ist die Mengenfunktion $ P_{X}:\mathcal{B}(\mathbb{R})\rightarrow [0,1]$ mit

$\displaystyle P_{X}(B)=P\left( \omega :\omega \in \Omega ,X(\omega )\in B\right) \qquad\forall B\in \mathcal{B}(\mathbb{R})\,.$ (2)

Beachte
 
  1. Die in (2) definierte Mengenfunktion $ P_X$ ist ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf dem Meßraum $ (\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}))$.
  2. Die Abbildung $ P \rightarrow P_{X}$ nennt man Maßtransport vom Meßraum $ (\Omega ,\mathcal{F})$ in den Meßraum $ (\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}))$.


Die folgende Kurzschreibweise ist üblich: $ P\left( X\in B\right)
=P \left( \left\{ \omega :\omega \in \Omega ,X(\omega )\in
B\right\} \right)
\qquad\forall B\in \mathcal{B}(\mathbb{R})$
Speziell: $ P (X\le x)=P \left( \left\{ \omega :\omega \in \Omega
,X(\omega )\leq x\right\} \right)\qquad \forall x\in \mathbb{R}$



Subsections

Roland Maier 2001-08-20