Verteilung von Zufallsvariablen

Die Regularitätsbedingung (1) in Definition 3.1 kann durch die folgende (scheinbar schärfere, in Wirklichkeit jedoch äquivalente) Bedingung ersetzt werden: Für jede Zufallsvariable $X:\Omega\to\mathbb{R}$ gilt

$$\left\{ \omega :\omega \in \Omega ,X(\omega )\in B\right\} \in \mathcal{F}\qquad \forall B\in \mathcal{B}(\mathbb{R})\,.$$

Dies führt zu der folgenden Begriffsbildung.

Definition 3.2

$\;$ Sei $(\Omega ,\mathcal{F},P)$ ein beliebiger Wahrscheinlichkeitsraum, und $X:\Omega \rightarrow \mathbb{R}$ sei eine beliebige Zufallsvariable. Die Verteilung der Zufallsvariable $X$ ist die Mengenfunktion $P_{X}:\mathcal{B}(\mathbb{R})\rightarrow [0,1]$ mit

$$P_{X}(B)=P\left( \omega :\omega \in \Omega ,X(\omega )\in B\right) \qquad\forall B\in \mathcal{B}(\mathbb{R})\,.$$ (2)

Beachte

 

1. Die in (2) definierte Mengenfunktion $P_X$ ist ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf dem Meßraum $(\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}))$.
2. Die Abbildung $P \rightarrow P_{X}$ nennt man Maßtransport vom Meßraum $(\Omega ,\mathcal{F})$ in den Meßraum $(\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}))$.

Die folgende Kurzschreibweise ist üblich: $P\left( X\in B\right) =P \left( \left\{ \omega :\omega \in \Omega ,X(\omega )\in B\right\} \right) \qquad\forall B\in \mathcal{B}(\mathbb{R})$
Speziell: $P (X\le x)=P \left( \left\{ \omega :\omega \in \Omega ,X(\omega )\leq x\right\} \right)\qquad \forall x\in \mathbb{R}$