Wahrscheinlichkeitsmaße

Gegeben sei ein Meßraum $(\Omega ,\mathcal{F})$. Betrachten eine Mengenfunktion, d.h. eine Abbildung $P:\mathcal{F}\rightarrow[0,1]$, die jeder Menge $A\in\mathcal{F}$ eine Zahl $P(A)\in[0,1]$ zuordnet. Dann heißt $P(A)$ Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $A\in\mathcal{F}$.

Definition 2.9

$\;$ Die Mengenfunktion $P:\mathcal{F}\rightarrow[0,1]$ heißt Wahrscheinlichkeitsmaß auf $\mathcal{F}$, falls

(P1)

$P(\Omega )=1$ (,,Normiertheit'')

(P2)

$P( \bigcup\limits _{i=1}^{\infty }A_{i}) =\sum\limits _{i=1}^{\infty }P(A_{i})$ für paarweise disjunkte $A_{1},A_{2},\ldots \in \mathcal{F}$ (,,$\sigma$-Additivität'')

Falls $(\Omega ,\mathcal{F})$ ein Meßraum und $P$ ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf $\mathcal{F}$ ist, dann heißt das Tripel $(\Omega ,\mathcal{F},P)$ Wahrscheinlichkeitsraum.

Theorem 2.10

$\;$ Sei $(\Omega ,\mathcal{F},P)$ ein Wahrscheinlichkeitsraum und $A, A_{1}, A_{2},\ldots \in \mathcal{F}$. Dann gilt

1. $P\left( A^{c}\right) =1-P(A)$
2. $A_{1}\subset A_{2}\Rightarrow P(A_{1})\leq P(A_{2})$
3. $P(A_{1}\cup A_{2})=P(A_{1})+P(A_{2})-P(A_{1}\cap A_{2})$
4. $P( \bigcup\limits ^{n}_{i=1}A_{i}) \leq \sum\limits ^{n}_{i=1}P(A_{i})$

Beweis

 

1. $1=P(\Omega )=P\left( A\cup A^{c}\right) =P(A)+P\left( A^{c}\right)$
2. $P(A_{2})=P\left( A_{1}\cup \left( A_{2}\setminus A_{1}\right) \right) =P(A_{1})+\underbrace{P(A_{2}\setminus A_{1})}_{\geq 0}\Rightarrow P(A_{2})\geq P(A_{1})$
3. Wegen $A_1\cup A_2=(A_1\setminus(A_2\cap A_1))\cup(A_1\cap A_2)\cup (A_2\setminus(A_1\cap A_2))$ gilt
   $P(A_1\cup A_2)=P(A_1\setminus(A_2\cap A_1))+P(A_1\cap A_2)+P(A_2\setminus(A_1\cap A_2))$.
   Weil $P(A\setminus B)=P(A)-P(B)$ für $A,B\in\mathcal{F}$ mit $A\supset B$ gilt, folgt hieraus die Behauptung.
4. Übungsaufgabe