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Momenten-Methode
- Die Momentenmethode ist eines der ältesten Verfahren zur Gewinnung
von Schätzern für die unbekannten Komponenten des Parametervektors
.
- Sie wurde von Karl Pearson (1857-1936) gegen Ende des 19.
Jahrhunderts eingeführt und
- beruht auf dem Vergleich von Momenten der Stichprobenvariablen
mit den entsprechenden empirischen Momenten der
konkreten Stichprobe
.
- Modellannahmen
-
- Lösungsansatz
-
- Für jedes
bestimmen wir das
-te empirische Moment
der konkreten Stichprobe
.
- Danach bilden wir das Gleichungssystem
 |
(4) |
mit dem unbekannten Vektor
.
- Es wird vorausgesetzt, daß dieses Gleichungssystem für jedes
eine eindeutig bestimmte Lösung
besitzt, die von der
konkreten Stichprobe
abhängt, und daß
- die Abbildung
mit
 |
(5) |
die den Stichprobenraum
in den Parameterraum
abbildet, Borel-meßbar ist, d.h.,
ist eine Stichprobenfunktion.
- Definition
Der durch (5) gegebene Zufallsvektor
heißt M-Schätzer des
Parametervektors
, wobei in (5) die
Zufallsstichprobe
anstelle der konkreten
Stichprobe
eingesetzt wird.
- Beachte
-
- Beispiele
-
Normalverteilte Stichprobenvariablen
Binomialverteilte Stichprobenvariablen
- Es gelte nun
Bin
.
- Dabei nehmen wir erneut an, daß beide Komponenten
und
des Parametervektors
unbekannt sind.
- Dann ist
und
mit
.
- Außerdem ist

und
- Das Gleichungssystem (4) hat also die Form
- Durch Einsetzen der ersten Gleichung in die zweite Gleichung
ergibt sich, daß
- Falls nicht sämtliche Stichprobenwerte
gleich
Null sind, dann ergibt sich hieraus die Lösung
mit
und
wobei sich die letzte Gleichheit erneut aus der Darstellungsformel
(1.15) der Stichprobenvarianz ergibt.
- Bei binomialverteilten Stichprobenvariablen
ergeben sich also die M-Schätzer
 |
(10) |
und
 |
(11) |
für die unbekannten Modellparameter
bzw.
, falls
.
Gammaverteilte Stichprobenvariablen
- Es gelte
.
- Dann ist
und
mit
.
- Aus Theorem 1.5 folgt, daß
- Hieraus ergibt sich das Geichungssystem
mit der Lösung
- Beachte
-
- Es gibt Beispiele parametrischer Verteilungsfamilien, so daß das
Gleichungssystem (4) für
nicht eindeutig lösbar
ist, für
jedoch eine eindeutig bestimmte Lösung besitzt.
- D.h., bei der Anwendung der Momentenmethode kann die Anzahl der zu
betrachtenden Momente
größer als die Anzahl
der (unbekannten) Parameterkomponenten
sein, vgl. die Übungsaufgabe 5.2.b.
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Roland Maier
2003-03-06