Maßtheoretische Definition der bedingten Erwartung

• In Abschnitt 2.3.6 wurde der Begriff der bedingten Erwartung ${\mathbb{E}\,}\bigl(\widetilde\theta(X_1,\ldots,X_n) \mid\widehat\theta(X_1,\ldots,X_n)\bigr)$ eingeführt, wobei zunächst die Grenzwerte $P_\theta\bigl(\widetilde\theta(X_1,\ldots,X_n)\in B \mid\widehat\theta(X_1,\ldots,X_n)=t\bigr)$ in (48) betrachtet wurden.
• Diese Vorgehensweise besitzt den Vorteil, daß intuitiv klar wird, inwiefern ${\mathbb{E}\,}\bigl(\widetilde\theta(X_1,\ldots,X_n) \mid\widehat\theta(X_1,\ldots,X_n)\bigr)$ als Funktion von $\widehat\theta(X_1,\ldots,X_n)$ aufgefaßt werden kann.
• Allerdings wurde dabei nicht näher untersucht,
  • ob bzw. unter welchen Bedingungen die Grenzwerte $P_\theta\bigl(\widetilde\theta(X_1,\ldots,X_n)\in B \mid\widehat\theta(X_1,\ldots,X_n)=t\bigr)$ in (48) existieren,
  • ob sie (bei gegebenem $t$) eine $\sigma$-additive Mengenfunktion bezüglich $B$, d.h. ein Wahrscheinlichkeitsmaß über $\mathcal{B}(\mathbb{R})$ bilden und
  • ob die Abbildung $t\to{\mathbb{E}\,}\bigl(\widetilde\theta(X_1,\ldots,X_n) \mid\widehat\theta(X_1,\ldots,X_n)=t\bigr)$ Borel-meßbar ist.

Der folgende (maßtheoretische) Zugang zur bedingten Erwartung ${\mathbb{E}\,}\bigl(\widetilde\theta(X_1,\ldots,X_n) \mid\widehat\theta(X_1,\ldots,X_n)\bigr)$ ist zwar weniger intuitiv, besitzt jedoch den Vorteil, daß er mit den allgemeinen Rechenregeln der Maß- und Integrationstheorie begründet werden kann.

• Sei $X:\Omega\to\mathbb{R}$ eine beliebige Zufallsvariable über dem Wahrscheinlichkeitsraum $(\Omega,\mathcal{F},P)$ mit ${\mathbb{E}\,}\vert X\vert<\infty$,
• und sei $\mathcal{G}\subset\mathcal{F}$ eine beliebige Teil-$\sigma$-Algebra von $\mathcal{F}$.
• Dann können wir das (endliche) signierte Maß $Q:\mathcal{G}\to\mathbb{R}$ betrachten, wobei

  $$Q(A)=\int\limits_A X(\omega)P(d\omega)\,,\qquad\forall\,A\in\mathcal{G}\,.$$ (50)

  
  

• Für jedes $A\in\mathcal{G}$ gilt somit die Implikation: $Q(A)=0$, falls $P(A)=0$.
• Mit anderen Worten: Das in (50) definierte signierte Maß $Q$ ist absolutstetig bezüglich der Einschränkung von $P$ auf die Teil-$\sigma$-Algebra $\mathcal{G}$.
• Aus dem Satz von Radon-Nikodym folgt nun, daß es eine $(\mathcal{G},\mathcal{B}[\mathbb{R}))$-meßbare Abbildung $Z:\Omega\to\mathbb{R}$ gibt, so daß

  $$\int\limits_A Z(\omega)P(d\omega)=\int\limits_A X(\omega)P(d\omega)\,,\qquad\forall\,A\in\mathcal{G}\,,$$ (51)

  
  
  wobei die Funktionswerte der Abbildung $Z$ mit Wahrscheinlichkeit $1$ eindeutig bestimmt sind.
• Jede $(\mathcal{G},\mathcal{B}[\mathbb{R}))$-meßbare Abbildung $Z:\Omega\to\mathbb{R}$, für die (51) gilt, heißt eine Version der bedingten Erwartung von $X$ bezüglich $\mathcal{G}$ und wird mit ${\mathbb{E}\,}(X\mid\mathcal{G})$ bezeichnet.

Aus der Definitionsgleichung (51) und aus den allgemeinen Rechenregeln für das Lebesgue-Integral ergeben sich die folgenden Eigenschaften der bedingten Erwartung, die wir hier lediglich (ohne Beweis) erwähnen.

Theorem 2.8   Seien $X,Y:\Omega\to\mathbb{R}$ beliebige Zufallsvariablen über $(\Omega,\mathcal{F},P)$ mit

$${\mathbb{E}\,}\vert X\vert<\infty\,,\qquad{\mathbb{E}\,}\vert Y\vert<\infty\,,\qquad{\mathbb{E}\,}\vert XY\vert<\infty\,,$$

und sei $\mathcal{G}\subset\mathcal{F}$ eine beliebige Teil-$\sigma$-Algebra von $\mathcal{F}$. Dann gilt

1.

${\mathbb{E}\,}(X\mid\{\emptyset,\Omega\})={\mathbb{E}\,}X,\,{\mathbb{E}\,}(X\mid\mathcal{F})=X$,

2.

${\mathbb{E}\,}(aX+bY\mid\mathcal{G})=a\,{\mathbb{E}\,}(X\mid\mathcal{G})+b\,{\mathbb{E}\,}(Y\mid\mathcal{G})$ für beliebige $a,b\in\mathbb{R}$,

3.

${\mathbb{E}\,}(X\mid\mathcal{G})\le{\mathbb{E}\,}(Y\mid\mathcal{G})$, falls $X\le Y$,

4.

${\mathbb{E}\,}(XY\mid\mathcal{G})=Y{\mathbb{E}\,}(X\mid\mathcal{G})$, falls $Y$ eine $(\mathcal{G},\mathcal{B}[\mathbb{R}))$-meßbare Zufallsvariable ist,

5.

${\mathbb{E}\,}\bigl({\mathbb{E}\,}(X\mid\mathcal{G}_2)\mid\mathcal{G}_1\bigr)={\mathbb{E}\,}(X\mid\mathcal{G}_1)$, falls $\mathcal{G}_1$ und $\mathcal{G}_2$ Teil-$\sigma$-Algebren von $\mathcal{F}$ sind mit $\mathcal{G}_1\subset\mathcal{G}_2$,

6.

${\mathbb{E}\,}(X\mid\mathcal{G})={\mathbb{E}\,}X$, falls die $\sigma$-Algebren $\mathcal{G}$ und $\sigma(X)=X^{-1}(\mathcal{B}(\mathbb{R}))$ unabhängig sind, d.h., falls $P(A\cap A^\prime)=P(A)P(A^\prime)$ für beliebige $A\in\mathcal{G}$ und $A^\prime\in\sigma(X)$.

Beachte

 

• Aus den Teilaussagen 1 und 5 ergibt sich, daß ${\mathbb{E}\,}\bigl({\mathbb{E}\,}(X\mid\mathcal{G})\bigr)={\mathbb{E}\,}X$, wenn $\mathcal{G}_1=\{\emptyset,\Omega\}$ und $\mathcal{G}_2=\mathcal{G}$ gesetzt wird.
• Aus Teilaussage 2 ergibt sich, daß ${\mathbb{E}\,}(a\mid\mathcal{G})=a$ für beliebige $a\in\mathbb{R}$ und $\mathcal{G}\subset\mathcal{F}$.
• Hieraus und aus Teilaussage 4 folgt, daß ${\mathbb{E}\,}(Y\mid\mathcal{G})=Y$ für jede $(\mathcal{G},\mathcal{B}[\mathbb{R}))$-meßbare Zufallsvariable $Y$ (wenn $X=1$ gesetzt wird).

Beispiel

 

• Seien $X,Y:\Omega\to\mathbb{R}$ beliebige Zufallsvariablen über $(\Omega,\mathcal{F},P)$ mit ${\mathbb{E}\,}\vert X\vert<\infty$, und sei $\mathcal{G}=Y^{-1}(\mathcal{B}(\mathbb{R}))$ die Teil-$\sigma$-Algebra von $\mathcal{F}$, die durch $Y$ erzeugt wird.
• Dann heißt ${\mathbb{E}\,}(X\mid\mathcal{G})$ die bedingte Erwartung von $X$ bezüglich $Y$, wobei auch die Schreibweise ${\mathbb{E}\,}(X\mid Y)$ benutzt wird.
• Insbesondere stimmt die bedingte Erwartung ${\mathbb{E}\,}\bigl(\widetilde\theta(X_1,\ldots,X_n) \mid\widehat\theta(X_1,\ldots,X_n)\bigr)$ von $\widetilde\theta(X_1,\ldots,X_n)$ bezüglich $\widehat\theta(X_1,\ldots,X_n)$ mit dem in Abschnitt 2.3.6 eingeführten Begriff überein, falls die Grenzwerte in (48) existieren und Wahrscheinlichkeitsmaße bilden, deren Erwartungswerte eine in $t$ Borel-meßbare Funktion ergeben.