Parametrische Tests

Falls die Familie $\Delta$ der insgesamt in Betracht gezogenen Verteilungen der Stichprobenvariablen $X_1,\ldots,X_n$ eine parametrische Familie $\Delta=\{P_\theta,\,\theta\in\Theta\}$ von Verteilungen ist, dann zerlegen wir $\Delta$ auf die folgende Weise in zwei Teilmengen $\Delta_0$ und $\Delta_1$:

• Betrachten eine Zerlegung
  $$\Theta=\Theta_0\cup\Theta_1\,,\qquad \Theta_0\cap\Theta_1=\emptyset$$
  des Parameterraumes $\Theta$ in zwei (nichtleere) disjunkte Teilmengen $\Theta_0,\Theta_1$, so daß
  $$\Delta_0=\{P_\theta,\,\theta\in\Theta_0\}$$   bzw.$$\qquad \Delta_1=\{P_\theta,\,\theta\in\Theta_1\}\,,$$

• wobei die Hypothesen $H_0$ und $H_1$ dann wie folgt formuliert werden:
  $$H_0: \theta\in\Theta_0$$   bzw.$$\qquad H_1: \theta\in\Theta_1\,.$$

Beispiel

$\;$ Sei $\Delta=\{$N $(\mu,\sigma^2),\,\mu\in\mathbb{R}\}$ die Familie der (eindimensionalen) Normalverteilungen mit einer vorgegebenen (bekannten) Varianz $\sigma^2$. Dann ist $H_0: \mu=0$ eine einfache Hypothese, während $H_1: \mu\not=0$ eine zusammengesetzte Hypothese ist.

Für parametrische Verteilungsfamilien können die Begriffe, die bisher in Abschnitt 4 eingeführt worden sind, wie folgt spezifiziert bzw. durch weitere Begriffe ergänzt werden.

Definition

 

• Im Fall einer parametrischen Familie $\Delta=\{P_\theta,\,\theta\in\Theta\}$ von Verteilungen heißt die in (1) eingeführte Stichprobenfunktion $\varphi:\mathbb{R}^n\to\{0,1\}$ ein Parametertest zum Niveau $\alpha$, falls

  $$P_\theta(\varphi(X_1,\ldots,X_n)=1)\le\alpha\,,\quad\forall\, \theta\in\Theta_0\,.$$ (4)

  
  

• Falls außerdem noch

  $$P_\theta(\varphi(X_1,\ldots,X_n)=1)\ge\alpha\,,\quad\forall\, \theta\in\Theta_1\,,$$ (5)

  
  
  dann heißt $\varphi:\mathbb{R}^n\to\{0,1\}$ ein unverfälschter Test zum Niveau $\alpha$.
• Die Abbildung $\alpha_n:\Theta\to[0,1]$ mit $\alpha_n(\theta)=P_\theta((\varphi(X_1,\ldots,X_n)=1)$ heißt Gütefunktion des Tests $\varphi$.
• Die Einschränkung $\alpha_n:\Theta_1\to[0,1]$ dieser Abbildung auf die Teilmenge $\Theta_1$ des Parameterraumes heißt die Macht (power) von $\varphi$. Für jedes $\theta\in\Theta_1$ heißt $\alpha_n(\theta)$ die Macht von $\varphi$ bei $\theta$.
• Der Test $\varphi$ zum Niveau $\alpha$ heißt konsistent, falls $\lim\limits _{n\to\infty} \alpha_n(\theta)=1$ für jedes $\theta\in\Theta_1$ gilt.
• Seien $\varphi:\mathbb{R}^n\to\{0,1\}$ und $\varphi^\prime:\mathbb{R}^n\to\{0,1\}$ zwei Parametertests zum Niveau $\alpha$. Falls die Macht von $\varphi^\prime$ größer ist als die Macht von $\varphi$, d.h.

  $$P_\theta(\varphi(X_1,\ldots,X_n)=1)\... ...\theta(\varphi^\prime(X_1,\ldots,X_n)=1)\,,\quad\forall\, \theta\in\Theta_1\,,$$ (6)

  
  
  dann sagt man, daß der Test $\varphi^\prime$ besser als der Test $\varphi$ ist.

Beachte

 

1. Bei der praktischen Konstruktion des kritischen Bereiches $K$ eines Parametertests zum Niveau $\alpha$ kann oft wie folgt vorgegangen werden:
   • Bestimme eine Stichprobenfunktion $T:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ (genannt Testgröße), so daß
   • die Zufallsvariable $T(X_1,\ldots,X_n)$ für $\theta\in\Theta_0$ eine bekannte (Prüf-) Verteilung hat, und
   • bestimme einen Schwellenwert $c>0$, so daß $P_\theta\bigl(\vert T(X_1,\ldots,X_n)\vert>c\bigr)\le\alpha$ für $\theta\in\Theta_0$ gilt.
   • Dann ist mit $K=\{(x_1,\ldots,x_n):\,\vert T(x_1,\ldots,x_n)\vert>c\}$ der kritische Bereich eines Parametertests zum Niveau $\alpha$ gegeben.
2. Um einen Test zum Niveau $\alpha$ mit einer möglichst großen Macht zu erhalten, ist es jedoch manchmal zweckmäßiger,
   • zwei Schwellenwerte $c_1,c_2\in\mathbb{R}\cup\{\pm\infty\}$ mit $c_1<c_2$ zu betrachten, so daß für $\theta\in\Theta_0$
     $$P_\theta\bigl(c_1\le T(X_1,\ldots,X_n)\le c_2\bigr)\ge 1-\alpha\,.$$

   • Dann ist mit $K=\mathbb{R}^n\setminus\{(x_1,\ldots,x_n):\,c_1\le T(x_1,\ldots,x_n)\le c_2\}$ der kritische Bereich eines (asymmetrischen) Parametertests zum Niveau $\alpha$ gegeben.

In den folgenden Abschnitten wird dieses Konstruktionsprinzip anhand einer Reihe von Beispielen näher diskutiert.