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Matrix der $ n$-stufigen Übergangswahrscheinlichkeiten

Beachte
 

Lemma 2.1   Für beliebige $ n,m=0,1,\ldots$ gilt

$\displaystyle {\mathbf{P}}^{(n)}={\mathbf{P}}^n$ (22)

und somit

$\displaystyle {\mathbf{P}}^{(n+m)}={\mathbf{P}}^{(n)}{\mathbf{P}}^{(m)}.$ (23)

Beweis
$ \;$ Die Gleichung (22) folgt unmittelbar aus (20) und aus der Definition der Matrix-Multiplikation.

$ \Box$


Beispiel
$ \;$ (Wettervorhersage)


Beachte
 

Korollar 2.2   Für beliebige $ n,m,r=0,1,\ldots$ und $ i,j,k\in E$ gilt

$\displaystyle p^{(n+m)}_{ii}\ge p^{(n)}_{ij}p^{(m)}_{ji}$ (24)

und

$\displaystyle p^{(r+n+m)}_{ij}\ge p^{(r)}_{ik}p^{(n)}_{kk}p^{(m)}_{kj}.$ (25)


Außerdem ergibt sich aus Lemma 2.1 die folgende Darstellung der Verteilung des zufälligen Zustandes $ X_n$ der Markov-Kette zum Zeitpunkt $ n$.

Theorem 2.3    

Beweis
 


Beachte
 

Beachte
 

Lemma 2.2    

Beweis
 


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Ursa Pantle 2003-09-29