Absolute und relative Häufigkeiten; Histogramm

1. Absolute und relative Häufigkeiten
   • Die Stichprobenwerte $x_1,\ldots,x_n$ werden manchmal auch als Urliste bzw. als Roh- oder Primärdaten bezeichnet.
   • Weil die direkte Auflistung der Rohdaten $x_1,\ldots,x_n$ mit wachsendem Stichprobenumfang $n$ schnell unübersichtlich wird, ist es manchmal zweckmäßig bzw. notwendig, die Rohdaten in einer anderen Form darzustellen.
   • So kann es beispielsweise bei diskreten Merkmalen/Kenngrößen/Variablen sinnvoll sein, anstelle der Rohdaten $x_1,\ldots,x_n$ zunächst
     • die Folge der vorhandenen bzw. potentiell möglichen Ausprägungen/Werte $c_1,\ldots,c_k$ (ohne Berücksichtigung eventuell vorkommender Wiederholungen) zu betrachten und der Größe nach zu ordnen, d.h. $c_1<c_2<\ldots<c_k$ , und dann
     • für jedes $j=1,\ldots,k$ die absolute Häufigkeit $h_j=h(c_j)$ bzw. die relative Häufigkeit $f_j=h_j/n$ der Ausprägung $c_j$ zu bestimmen.

     
     

   • Beispiel 
     • Wir betrachten die Anzahlen $x_1,\ldots,x_{10}$ kariöser Zähne von 10 Schülern, wobei

       $i$	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
       $x_i$	5	1	1	0	5	1	0	2	0	0

     • Dann ergeben sich die folgenden absoluten bzw. relativen Häufigkeiten der Ausprägungen $c_j$:

       $c_j$	0	1	2	3	4	5
       $h_j$	4	3	1	0	0	2
       $f_j$	0.4	0.3	0.1	0	0	0.2

     
     

   • Beachte 
     • Wenn der Stichprobenumfang $n$ groß ist, dann ist die Menge $\{c_1,\ldots,c_k\}$ der überhaupt vorhandenen bzw. potentiell möglichen Ausprägungen/Werte typischerweise deutlich kleiner (und damit wesentlich übersichtlicher) als die Menge der Rohdaten $\{x_1,\ldots,x_n\}$.
     • Bei stetigen bzw. quasi-stetigen Merkmalen/Kenngrößen/Variablen können ebenfalls absolute bzw. relative Häufigkeiten betrachtet werden, wenn die Rohdaten vorher auf geeignete Weise zu Klassen zusammengefasst und die Häufigkeiten dann für die gruppierten Daten bestimmt werden.
     • Dabei ist jedoch zu beachten, dass die Gruppierung/Aggregation von Daten stets mit einem Informationsverlust verbunden ist.

   
   

2. Histogramm
   • Wir betrachten nun Merkmale/Kenngrößen/Variablen, die zumindest ordinalskaliert sind, und zerlegen die (reelle) Zahlengerade $\mathbb{R}$ in $k$ Intervalle $[a_j,b_j)$, die sich unmittelbar aneinander anschließen, d.h.
     $$-\infty=a_1<b_1=a_2<b_2=\ldots=a_k<b_k=+\infty\,.$$

   • Für jedes $j=1,\ldots,k$ betrachten wir die absolute Häufigkeit $h_j$ bzw. die relative Häufigkeit $f_j=h_j/n$ derjenigen Stichprobenwerte $x_1,\ldots,x_n$, die in das Intervall $[a_j,b_j)$ fallen.
   • Ein Histogramm ist ein Säulendiagramm, wobei den Klassen $[a_1,b_1),\ldots,[a_k,b_k)$ Säulen zugeordnet werden, deren Flächeninhalte jeweils gleich oder proportional zu den absoluten bzw. relativen Häufigkeiten $h_1,\ldots,h_k$ bzw. $f_1,\ldots,f_k$ sind.

     
     

   • Beispiel
     • Für den obenbetrachteten Datensatz der Anzahlen kariöser Zähne bei einer Gruppe von 10 Schülern besteht keine Notwendigkeit, die 6 beobachteten Werte $0,1,2,3,4,5$ zu einer kleineren Anzahl von Klassen zusammenzufassen.
     • Um ein Säulendiagramm zu erhalten, werden dennoch die ,,Intervall-Klassen''
       $$[-\infty,1),[1,2),\ldots, [4,5),[5,,\infty]$$
       betrachtet, wobei diese Zerlegung der Zahlengerade $\mathbb{R}$ zu den (bereits obenerwähnten) absoluten Häufigkeiten $4,3,1,0,0,2$ führt.
     • Hieraus ergibt sich das folgende Histogramm: