Kenngrößen zur Beschreibung von univariaten Daten

• Die beschreibende Statistik stellt eine Reihe von Kenngrößen bereit, durch die wesentliche Eigenschaften bzw. Gesetzmäßigkeiten von (großen) Datensätzen auf übersichtliche Weise dargestellt werden können. Der Vektor $(x_1,\ldots,x_n)$ der vorliegenden Daten $x_1,\ldots,x_n$ kann dabei im allgemeinen eine komplizierte Struktur aufweisen.
• Der ,,Wert'' $x_i$ muss nämlich nicht unbedingt eine Zahl sein, sondern $x_i$ kann für jedes $i=1,\ldots,n$ ein Vektor oder eine Matrix sein, die beispielsweise die Ausprägungen mehrerer Merkmale gleichzeitig beschreiben können.
• In diesem Abschnitt setzen wir jedoch voraus, dass $x_i\in\mathbb{R}$ für jedes $i=1,\ldots,n$, d.h., wir betrachten sogenannte univariate Daten.
• Wir beginnen zunächst mit der Einführung einiger allgemeiner Grundbegriffe der beschreibenden Statistik.
  • Der Datenvektor $(x_1,\ldots,x_n)$ wird (konkrete) Stichprobe genannt.
  • Die Menge $C\subset\mathbb{R}^n$ aller (potentiell möglichen) Stichproben $(x_1,\ldots,x_n)$ heißt Stichprobenraum.
  • Für jedes $i=1,\ldots,n$ nennt man $x_i$ den $i$-ten Stichprobenwert von $(x_1,\ldots,x_n)$.
  • Die Anzahl $n$ der Komponenten von $(x_1,\ldots,x_n)$ heißt Stichprobenumfang.
  • Unter einer Kenngröße der Stichprobe $(x_1,\ldots,x_n)$ verstehen wir dabei eine Abbildung

    $$(x_1,\ldots,x_n)\longmapsto\varphi(x_1,\ldots,x_n)\,,$$ (1)

    
    
    die jeder Stichprobe $(x_1,\ldots,x_n)$ einen ,,Kennwert'' $\varphi(x_1,\ldots,x_n)$ zuordnet.
  • Die in (1) betrachtete Abbildung wird auch Stichprobenfunktion genannt.