Herleitung der Formeln für $\rho _{xy}$

1. Herleitung der Formel (24)
   • Mit den abkürzenden Bezeichnungen
     $$u_i=\frac{x_i-\overline x_n}{\displaystyle\sqrt{\sum\limits_{i=1}... ...e y_n}{\displaystyle\sqrt{\sum\limits_{i=1}^n\bigl(y_i-\overline y_n\bigr)^2}}$$
     gilt offenbar
     $$\sum\limits_{i=1}^n u_i=0\,,\quad \sum\limits_{i=1}^n u_i^2=1$$   und$$\qquad \sum\limits_{i=1}^n v_i=0\,,\quad \sum\limits_{i=1}^n v_i^2=1$$
     sowie
     $$\rho_{xy}=\sum\limits_{i=1}^n u_iv_i\,.$$

   • Somit gilt für jedes $c\in\mathbb{R}$
     $$0\le\sum\limits_{i=1}^n (u_i-cv_i)^2=\underbrace{\sum\limits_{i=1... ...2c\sum\limits_{i=1}^n u_iv_i+c^2\underbrace{\sum\limits_{i=1}^n v_i^2}_{=1}\,.$$

   • Hieraus ergibt sich insbesondere für $c=\sum\limits_{i=1}^n u_iv_i$, dass
     $$0\le1-\Biggl(\underbrace{\sum\limits_{i=1}^n u_iv_i}_{=\rho_{xy}}\Biggr)^2\,,$$

   • Dies impliziert, dass $\rho_{xy}^2\le 1$ bzw. $-1\le\rho_{xy}\le 1$, womit die Gültigkeit von (24) bewiesen ist.

   
   

2. Herleitung der Formel (25)
   • Durch Ausmultiplizieren des Zählers in (23) ergibt sich, dass
     

     $$\sum\limits_{i=1}^n\Bigl((x_i-\overline x_n)(y_i-\overline y_n)\Bigr) = \sum\limits_{i=1}^n\Bigl(x_iy_i-\overline x_n y_i-\overline y_n x_i+\overline x_n\overline y_n\Bigr)$$

     $$= \sum\limits_{i=1}^n x_iy_i-n\overline x_n \overline y_n\,.$$

     
     

   • Auf ähnliche Weise erhalten wir die Identitäten
     $$\sum\limits_{i=1}^n (x_i-\overline x_n)^2 = \sum\limits_{i=1}^n (... ...x_i\overline x_n+\overline x_n^2) = \sum\limits_{i=1}^n x_i^2-n\overline x_n^2$$
     und
     $$\sum\limits_{i=1}^n (y_i-\overline y_n)^2 = \sum\limits_{i=1}^n (... ...\overline y_n+\overline y_n^2) = \sum\limits_{i=1}^n y_i^2-n\overline y_n^2\,.$$

   • Wenn diese Ausdrücke in (23) eingesetzt werden, ergibt sich nun mühelos die Formel (25).

   
   

3. Herleitung der Formel (26)
   • Für binäre Daten gilt offenbar
     $$\sum\limits_{i=1}^n x_iy_i=h_{22}\,,\qquad n\overline x_n=h_{21}+h_{22}\,, \qquad n\overline y_n=h_{12}+h_{22}$$
     sowie $n=h_{11}+h_{12}+h_{21}+h_{22}$, wobei $h_{ij}$ die in Abschnitt 2.3.1 eingeführte absolute Häufigkeit ist.
   • Durch Einsetzen in (25) ergibt sich nun, dass
     

     $$\rho_{xy} = \frac{\displaystyle\sum\limits_{i=1}^n x_iy_i-n\overline x_n \ove... ...-n\overline x_n^2\Bigr)\Bigr(\sum\limits_{i=1}^n y_i^2-n\overline y_n^2\Bigr)}}$$

     $$= \frac{\displaystyle h_{22}-\frac{(h_{21}+h_{22})(h_{12}+h_{22})}{... ...((h_{12}+h_{22})-\frac{(h_{12}+h_{22})^2}{h_{11}+h_{12}+h_{21} +h_{22}}\Bigr)}}$$

     $$= \frac{\displaystyle(h_{11}+h_{12}+h_{21} +h_{22}) h_{22}-(h_{21}+... ...splaystyle \sqrt{(h_{21}+h_{22})(h_{11}+h_{12})(h_{12}+h_{22})(h_{11}+h_{12})}}$$

     $$= \frac{\displaystyle h_{11}h_{22}-h_{12}h_{21}}{\displaystyle \sqrt{(h_{21}+h_{22})(h_{11}+h_{12})(h_{12}+h_{22})(h_{11}+h_{12})}}\;.$$

     
     

   • Damit ist (26) bewiesen.

   
   

4. Herleitung der Formel (28)
   • Die Invarianzeigenschaft (28) des empirischen Korrelationskoeffizienten ergibt sich unmittelbar aus der Definitionsgleichung (23).
   • Falls $x^\prime_1,\ldots,x^\prime_n$ bzw. $y^\prime_1,\ldots,y^\prime_n$, wobei $x^\prime_i=\alpha_x+\beta_x x_i$ bzw. $y^\prime_i=\alpha_y+\beta_y y_i$ für jedes $i=1,\ldots,n$ und für gewisse Konstanten $\alpha_x,\alpha_y\in\mathbb{R}$ und $\beta_x,\beta_y\not=0$, dann gilt nämlich, dass
     

     $$\rho_{x^\prime y^\prime} = \frac{\displaystyle\sum\limits_{i=1}^n\Bigl((x^\prime_i-\overline... ...ime_n\bigr)^2\sum\limits_{i=1}^n\bigl(y^\prime_i-\overline y^\prime_n\bigr)^2}}$$

     $$= \frac{\displaystyle\sum\limits_{i=1}^n\Bigl((\alpha_x+\beta_x x_i... ...s_{i=1}^n\bigl(\alpha_y+\beta_y y_i-(\alpha_y +\beta_y\overline y_n) \bigr)^2}}$$

     $$= \frac{\beta_x\beta_y}{\vert\beta_x\vert \vert\beta_y\vert}\;\rho_{xy}\,.$$

     
     

   • Damit ist (28) bewiesen.