Kontingenztafel der absoluten Häufigkeiten

• Analog zur Notation, die in Abschnitt 2.2.4 für den univariaten Fall eingeführt wurde, bezeichnen wir mit $h_{ij}=h(c_i,d_j)$ für jedes $i=1,\ldots,k_1$ und für jedes $j=1,\ldots,k_2$ die absolute Häufigkeit, mit der die Kombination $(c_i,d_j)$ der Ausprägungen $c_i$ und $d_j$ in den Paaren $(x_r,y_r)$ der Stichproben $(x_1,\ldots,x_n)$ bzw. $(y_1,\ldots,y_n)$ auftritt.
• Bei der tabellarischen Darstellung der absoluten Häufigkeiten $h_{ij}=h(c_i,d_j)$ werden auch die sogenannten Randhäufigkeiten

  $$h_{i\,\cdot}=h_{i1}+\ldots+h_{ik_2}\qquad \forall\, i=1,\ldots,k_1$$ (12)

  
  
  bzw.

  $$h_{\cdot\,j}=h_{1j}+\ldots+h_{k_1j}\qquad \forall\, j=1,\ldots,k_2$$ (13)

  
  
  der Ausprägungen/Werte von $X$ bzw. $Y$ betrachtet, die sich ergeben, wenn lediglich die Ausprägungen/Werte von $X$ (ohne Berücksichtigung der Ausprägungen/Werte von $Y$) bzw. umgekehrt lediglich die Ausprägungen/Werte von $Y$ (ohne Berücksichtigung der Ausprägungen/Werte von $X$) betrachtet werden.
• Die Punktnotation $h_{i\,\cdot}$ bzw. $h_{\cdot\,j}$ in (12) bzw. (13) macht dabei deutlich, ob über $j$ bzw. $i$ summiert wird.
• Für die Gesamtsumme $n$ sämtlicher Häufigkeiten wird manchmal die Notation $h_{\cdot\,\cdot}$ verwendet, wobei
  $$h_{\cdot\,\cdot}=\sum\limits_{i=1}^{k_1} h_{i\,\cdot}=\sum\limits... ...}\qquad\Bigl(=\sum\limits_{i=1}^{k_1}\sum\limits_{j=1}^{k_2} h_{ij}=n\Bigr)\,.$$

  
  

• Unter der $k_1\times k_2$-Kontingenztafel der absoluten Häufigkeiten von $X$ und $Y$ versteht man die folgende Tabelle:

  	$d_1$	$\ldots$	$d_{k_2}$
  $c_1$	$h_{11}$	$\ldots$	$h_{1k_2}$	$h_{1\,\cdot}$
  $c_2$	$h_{21}$	$\ldots$	$h_{2k_2}$	$h_{2\,\cdot}$
  $\vdots$	$\vdots$		$\vdots$	$\vdots$
  $c_{k_1}$	$h_{k_11}$	$\ldots$	$h_{k_1k_2}$	$h_{k_1\,\cdot}$
  	$h_{\cdot\,1}$	$\ldots$	$h_{\cdot\,k_2}$	$h_{\cdot\,\cdot}\; (=n)$

  
  

• Beispiel (vgl. L. Fahrmeir, R. Künstler, I. Pigeot, G. Tutz (2000) Statistik. Springer, Berlin, S. 111 ff.)
  • Bei einer Befragung von 447 männlichen deutschen Arbeitslosen, die vom Deutschen Institut für Wirtschaftsforschung (DIW) durchgeführt wurde, wurden u.a. die folgenden beiden Merkmale erfasst:
    1. Ausbildungsniveau mit den vier Ausprägungen ,,keine Ausbildung'' (K), ,,Lehre'' (L), ,,fachspezifische Ausbildung'' (F), ,,Hochschulabschluss'' (H) sowie
    2. Dauer der Arbeitslosigkeit mit den Kategorien ,,Kurzzeitarbeitslosigkeit'' ($\le$ 6 Monate), ,,mittelfristige Arbeitslosigkeit'' (7-12 Monate), ,,Langzeitarbeitslosigkeit'' ($>$ 12 Monate)
  • Dabei ergaben sich die folgenden Häufigkeiten:

    	$\le$ 6 Monate	7-12 Monate	$>$ 12 Monate
    keine Ausbildung	86	19	18	123
    Lehre	170	43	20	233
    fachspez. Ausbildung	40	11	5	56
    Hochschulabschluss	28	4	3	35
    	324	77	46	447