Konfidenzintervalle

1. Konfidenzintervalle für die Modellparameter $\alpha$ und $\beta$
   • Zur Erinnerung: Bei der Konstruktion von Konfidenzintervallen für (reellwertige) Modellparameter, die auch Vertrauensintervalle genannt werden, geht man wie folgt vor.
     • Man betrachtet zwei Abbildungen $\varphi_1,\,\varphi_2:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$, die den beobachteten Daten $y_1,\ldots,y_n$, d.h. jeder Realisierung $(y_1,\ldots,y_n)$ der Zufallsstichprobe $(Y_1,\ldots,Y_n)$, die Schätzwerte $\varphi_1(y_1,\ldots,y_n)$ bzw. $\varphi_2(y_1,\ldots,y_n)$ zuordnen, und zwar so, dass
       $$\varphi_1(y_1,\ldots,y_n)<\varphi_2(y_1,\ldots,y_n)\,.$$

     • Die zugehörigen Schätzer $\varphi_1(Y_1,\ldots,Y_n)$ und $\varphi_2(Y_1,\ldots,Y_n)$ ergeben dann ein zufälliges Intervall $\bigl(\varphi_1(Y_1,\ldots,Y_n),\,\varphi_2(Y_1,\ldots,Y_n)\bigr)$, das den unbekannten Modellparameter $\theta\in\mathbb{R}$ (zumindest) mit einer vorgegebenen Überdeckungswahrscheinlichkeit $\gamma\in(0,1)$ enthalten soll.
     • Mit anderen Worten: Die Schätzer $\varphi_1(Y_1,\ldots,Y_n)$ und $\varphi_2(Y_1,\ldots,Y_n)$ liefern ein Konfidenzintervall für $\theta$ zum Niveau $\gamma$, falls

       $$\mathbb{P}\bigl(\varphi_1(Y_1,\ldots,Y_n)<\theta<\varphi_2(Y_1,\ldots,Y_n)\bigr)\ge \gamma\,.$$ (23)

       
       

     • Die ,,Nichtüberdeckungswahrscheinlichkeit'' $1-\gamma$ wird Irrtumswahrscheinlichkeit genannt. Sie entspricht der in Abschnitt 3.1.3 betrachteten Fehlerwahrscheinlichkeit erster Art.
   • Aus (16) und (17) ergeben sich ohne weiteres die folgenden Konfindenzintervalle zum Niveau $\gamma\in(0,1)$ für die Modellparameter $\alpha$ und $\beta$. Und zwar gilt jeweils mit Wahrscheinlichkeit $\gamma$

     $$\widehat\alpha-{\rm t}_{n-2,1-(1-\gamma)/2}S\sqrt{\Bigl(\sum\limi... ...}S\sqrt{\Bigl(\sum\limits_{i=1}^n x_i^2\Bigr)\Bigl/\bigl(n(n-1) s^2_{xx}\bigr)}$$ (24)

     
     
     und

     $$\widehat\beta-{\rm t}_{n-2,1-(1-\gamma)/2}S\bigl/\sqrt{(n-1)s^2_{... ...\beta< \widehat\beta+{\rm t}_{n-2,1-(1-\gamma)/2}S\bigl/\sqrt{(n-1)s^2_{xx}}\,.$$ (25)

     
     

     
     

   • Beispiele

     i)

     Zusammenhang von Weglänge und Lieferzeit

     • Für die in Abschnitt 3.1.3 betrachteten Daten über Weglängen und Lieferzeiten von 10 zufällig ausgewählten Lkw-Lieferungen hatten wir gezeigt, dass der Zusammenhang von Weglänge und Lieferzeit statistisch signifikant ist.
     • Außerdem hatten wir gezeigt, dass
       $$\frac{S}{\sqrt{\sum_{i=1}^{10}x_i^2-10\,\overline x^2_{10} }}=\frac{0.48}{1139.24}=0.0004\,.$$

     • Aus (25) ergibt sich somit das folgende Konfidenzintervall für $\beta$ zum Niveau $\gamma=0.95$:
       $$(0.0036\mp 2.306\cdot 0.0004)=(0.0036\mp 0.0009)=(0.0027,\, 0.0045)\,.$$

     ii)

     Zusammenhang von Geburtsgewicht und Gewichtszunahme

     • Wir betrachten erneut die Daten über die Merkmale ,,Geburtsgewicht'' von Säuglingen sowie deren ,,Gewichtszunahme'' zwischen dem 70. und 100. Tag, für die in Abschnitt 3.1.3 ein statistisch signifikanter Zusammenhang zwischen diesen beiden Merkmalen ermittelt wurde.
     • Aus (25) ergibt sich das folgende Konfidenzintervall für $\beta$ zum Niveau $\gamma=0.95$:
       $$(-1.262\mp 2.10\cdot 0.249)=(-1.765,\,-0.719)\,.$$

   
   

2. Konfidenzintervall für den erwarteten Zielwert $\alpha+\beta x_0$
   • Auf ähnliche Weise kann man auch ein Konfidenzintervall zum Niveau $\gamma\in(0,1)$ für den erwarteten Zielwert $\alpha+\beta x_0$ herleiten, der einem vorgegebenen Ausgangswert $x_0\in\mathbb{R}$ entspricht.
     • Von besonderem Interesse ist dabei natürlich der Fall, dass $x_0\not\in\{x_1,\ldots,x_n\}$, d.h., wenn an der Stelle $x_0$ keine Daten erhoben werden.
     • Sei also $x_0\in\mathbb{R}$ eine (geeignet gewählte) reelle Zahl mit

       $$\min\{x_1,\ldots,x_n\}<x_0<\max\{x_1,\ldots,x_n\}\,.$$ (26)

       
       

     • Dann ist durch den Ansatz $\widehat\alpha+\widehat\beta x_0$ ein erwartungstreuer Schätzer für $\alpha+\beta x_0$ gegeben mit

       $$\widehat\alpha+\widehat\beta x_0\sim\,{\rm N}\,\Bigl(\alpha+\beta... ...Bigl(\frac{1}{n}\,+\,\frac{(x_0-\overline x_n)^2}{(n-1)s^2_{xx}}\Bigr)\Bigr)\,.$$ (27)

       
       

     • Mit Wahrscheinlichkeit $\gamma$ gilt somit, dass

       $$\widehat\alpha+\widehat\beta x_0-\tau<\alpha+\beta x_0<\widehat\alpha+\widehat\beta x_0+ \tau\,,$$ (28)

       
       
       wobei
       $$\tau={\rm t}_{n-2,1-(1-\gamma)/2}S\sqrt{\frac{1}{n}\,+\,\frac{(x_0-\overline x_n)^2}{(n-1)s^2_{xx}}}\;.$$

   • Beachte 
     • Bei gegebenen Daten $(x_1,y_1),\ldots,(x_n,y_n)$ ist die Länge des in (28) hergeleiteten Konfidenzintervalls für $\alpha+\beta x_0$ eine monoton nichtfallende Funktion des Abstandes $\vert x_0-\overline x_n\vert$, die ihr Minimum im Punkt $x_0=\overline x_n$ annimmt.
     • Die in (28) hergeleitete Intervallschätzung für $\alpha+\beta x_0$ ist also dann am genauesten, wenn der Wert $x_0$ im ,,Zentrum'' der (Ausgangs-) Werte $x_1,\ldots,x_n$ liegt.
     • Andererseits können Ergebnisse entstehen, die offenkundig falsch sind, falls $x_0$ eine der beiden Ungleichungen in (26) nicht erfüllt.
     • So würde sich aus den Daten über die Merkmale Geburtsgewicht von Säuglingen und deren Gewichtszunahme beispielsweise für das ,,Geburtsgewicht'' $x_0=0$ eine geschätzte Gewichtszunahme von $\widehat\alpha+\widehat\beta x_0=5905$ ergeben.

   • Beispiel 
     • Aus den in Abschnitt 3.1.3 betrachteten Daten über Weglängen und Lieferzeiten von 10 zufällig ausgewählten Lkw-Lieferungen ergibt sich für die Weglänge $x_0=1000$, dass
       $$\widehat\alpha+\widehat\beta x_0=0.11+0.0036\cdot 1000=3.71\,.$$

     • Außerdem gilt
       

       $$S\sqrt{\frac{1}{n}\,+\,\frac{(x_0-\overline x_n)^2}{(n-1)s^2_{xx}}} = S\sqrt{\frac{1}{n}\,+\,\frac{(x_0-\overline x_n)^2}{\sum\limits_{i=1}^n x_i^2-\Bigl(\sum\limits_{i=1}^n x_i\Bigr)^2/n}}$$

       $$= 0.46\;\sqrt{\frac{1}{10}\;+\;\frac{(1000-762)^2}{7104300-(7620)^2/10}}\;\approx\; 0.17\,.$$

       
       

     • Aus (28) ergibt sich somit das folgende Konfidenzintervall zum Niveau $\gamma=0.95$ für die erwartete Lieferzeit $\alpha+\beta\cdot 1000$ bei der (angenommenen) Weglänge von $x_0=1000$:
       $$(3.71\mp 2.306\cdot 0.17)=(3.71\mp 0.39)=(3.32,\, 4.10)\,.$$