Zwei-Stichproben-Probleme

Wir betrachten nun noch zwei Beispiele von asymptotischen Tests für den Zwei-Stichproben-Fall.

• Seien $n_1,n_2\in\mathbb{N}$ zwei (große) vorgegebene Zahlen.
• So wie in Abschnitt 3.4.2 fassen wir die (konkreten) Stichproben $(x_{11},\ldots,x_{1n_1})$ und $(x_{21},\ldots,x_{2n_2})$ als Realisierungen von zwei unabhängigen (d.h. nicht verbundenen) Zufallsstichproben $(X_{11},\ldots,X_{1n_1})$ bzw. $(X_{21},\ldots,X_{2n_2})$ auf.
• Zur Vereinfachung der Schreibweise setzen wir $n=\max\{n_1,n_2\}$ bzw. $x_i=(x_{1i},x_{2i})$ für $i=1,\ldots,n$.

1. $\;$ Test der Gleichheit zweier Erwartungswerte (bei Poisson-Verteilung)
   • Wir nehmen an, dass $X_{1i}\sim$ Poi $(\lambda_1)$ und $X_{2i}\sim$ Poi $(\lambda_2)$ für (unbekannte) $\lambda_1,\lambda_2>0$.
   • Dabei soll die Hypothese $H_0: \lambda_1=\lambda_2$ (gegen die Alternative $H_1:\lambda_1\not=\lambda_2$) getestet werden, d.h. $\Theta=\{(\lambda_1,\lambda_2):\,\lambda_1,\lambda_2>0\}$ mit
     $$\Theta_0=\{(\lambda_1,\lambda_2):\,\lambda_1=\lambda_2\}$$   bzw.$$\qquad \Theta_1=\{(\lambda_1,\lambda_2):\,\lambda_1\not=\lambda_2\}$$

   • Wir betrachten die Testgröße $T_n:\mathbb{R}^{2n}\to\mathbb{R}$ mit

     $$T_n(x_1,\ldots,x_n)=\left\{\begin{array}{ll} \frac{\displaystyle... ...x_{1n_1},\overline x_{2n_2}\}>0$,}\\ 0\,, & \mbox{sonst} \end{array}\right.$$ (20)

     
     
     und den Schwellenwert $c=z_{1-\alpha/2}$.
   • Dann gilt (vgl. Beispiel 1 des Abschnittes 3.4.2)
     $$\lim\limits _{n_1,n_2\to\infty} P_{(\lambda_1,\lambda_2)}\bigl(\vert T_n(X_1,\ldots,X_n)\vert>z_{1-\alpha/2}\bigr)=\alpha$$
     für beliebige $\lambda_1,\lambda_2>0$ mit $\lambda_1=\lambda_2$.
   • Durch die in (20) eingeführte Folge $\{T_n\}$ von Testfunktionen ist also ein asymptotischer Test der Hypothese $H_0:\,\lambda_1=\lambda_2$ zum Niveau $\alpha$ gegeben.
   • Bei großem $n$ wird die Nullhypothese $H_0$ abgelehnt, falls $\vert T_n(x_1,\ldots,x_n)\vert>z_{1-\alpha/2}$.

   
   

2. $\;$ Test der Gleichheit zweier ,,Erfolgswahrscheinlichkeiten'' (bei Bernoulli-Verteilung)
   • Es gelte nun $X_{1i}\sim$ Bin$(1,p_1)$ und $X_{2i}\sim$ Bin$(1,p_2)$ für (unbekannte) $p_1,p_2\in(0,1)$, wobei
   • die Hypothese $H_0: p_1=p_2$ (gegen die Alternative $H_1:p_1\not=p_2$) getestet werden soll, d.h. $\Theta=\{(p_1,p_2):\,p_1,p_2\in(0,1)\}$ mit
     $$\Theta_0=\{(p_1,p_2):\,p_1=p_2\}$$   bzw.$$\qquad \Theta_1=\{(p_1,p_2):\,p_1\not=p_2\}$$

   • Wir betrachten die Testgröße $T_n:\mathbb{R}^{2n}\to\mathbb{R}$ mit

     $$T_n(x_1,\ldots,x_n)=\left\{\begin{array}{ll} \frac{\displaystyle... ...$\ oder $0<\overline x_{2n_2}<1$,}\\ 0\,, & \mbox{sonst} \end{array}\right.$$ (21)

     
     
     und den Schwellenwert $c=z_{1-\alpha/2}$.
   • Dann ergibt sich (auf die gleiche Weise wie in dem vorhergehenden Beispiel), dass
     $$\lim\limits _{n_1,n_2\to\infty} P_{(p_1,p_2)}\bigl(\vert T_n(X_1,\ldots,X_n)\vert>z_{1-\alpha/2}\bigr)=\alpha$$
     für beliebige $p_1,p_2\in(0,1)$ mit $p_1=p_2$.
   • Durch die in (21) eingeführte Folge $\{T_n\}$ von Testfunktionen ist also ein asymptotischer Test der Hypothese $H_0:\,p_1=p_2$ zum Niveau $\alpha$ gegeben.
   • Bei großem $n$ wird die Nullhypothese $H_0$ abgelehnt, falls $\vert T_n(x_1,\ldots,x_n)\vert>z_{1-\alpha/2}$.