Auf ähnliche Weise wie in Theorem 5.6 kann man
sogenannte simultane Konfidenzbereiche zum Niveau
gleichzeitig für meherere erwartete Zielwerte
,
herleiten, die vorgegebenen (Ausgangs-)
Werten
entsprechen.
Dabei ist erneut der Fall
von besonderem
Interesse, d.h., wenn an den Stellen
keine
Daten erhoben werden.
Hierfür ist die folgende Bonferroni-Ungleichung nützlich.
Lemma 5.4
Für jede natürliche Zahl
und für beliebige
Ereignisse
gilt
(46)
Beweis
Aus der Subadditivität von Wahrscheinlichkeitsmaßen (vgl.
Theorem WR-2.2) ergibt sich, dass
gleichzeitig für jedes
gilt, ist mindestens gleich
.
Beweis
Gemäß Teilaussage 2 von Theorem 5.6 ist die
Wahrscheinlichkeit für jedes der Ereignisse
in (47) gegeben durch
Aus Lemma 5.4 ergibt sich nun für die
Wahrscheinlichkeit des Durchschnittes
,
dass
Beachte
Das kartesische Produkt der Intervalle in (47)
heißt simultaner Konfidenzbereich für den Vektor
.
Wir können noch einen Schritt weiter gehen als in
Theorem 5.8 und fragen, ob es eine Zahl
gibt, so dass die Wahrscheinlichkeit mindestens gleich
ist, dass
(48)
gleichzeitig für jedes
gilt.
Die Menge
mit
(49)
heißt dann Konfidenzband zum Niveau für die
Regressionsgerade
.
Bei der Lösung dieser Fragestellung ist die Klasse der
F-Verteilungen in Verbindung mit dem folgenden Hilfssatz nützlich.
Lemma 5.5 Seien
beliebige reelle Zahlen mit , und . Dann gilt
(50)
.
Beweis
Die Behauptung gilt genau dann, wenn für alle
und wenn es ein
gibt, so dass beide Seiten dieser
Ungleichung übereinstimmen.
Die Ungleichung gilt genau dann, wenn
bzw.
Die letzte Ungleichung ergibt sich unmittelbar aus der binomischen
Formel, und für gilt die Gleichheit.
Theorem 5.9
Sei
. Dann ist durch
die in
definierte Menge
ein Konfidenzband zum Niveau für
die Regressionsgerade
gegeben.
Beweis
Die Behauptung ist bewiesen, wenn wir zeigen, dass
bzw.
(51)
Aus (16) ergibt sich, dass
. Weil
und
erwartungstreue Schätzer für bzw. sind, gilt
außerdem, dass
.
Wir führen deshalb die gleiche Skalenverschiebung durch, die wir
bereits im Beweis von Theorem 5.5 betrachtet haben:
d.h. wir nehmen (o.B.d.A.) an, dass
.
Mit anderen Worten: Anstelle (51) zeigen wir, dass
Weil nicht von abhängt, ergibt sich aus
Lemma 5.5, dass
Weil
und weil demzufolge
gilt, ergibt sich aus
Theorem 5.5, dass die Zufallsvariablen
und
normalverteilt und unkorreliert (und
somit gemäß Teilaussage 2 von Lemma 5.3 auch
unabhängig) sind, vgl. auch Übungsaufgabe 2.3.
Der Zähler des letzten Quotienten ist also die Summe der Quadrate
von zwei unabhängigen N-verteilten Zufallsvariablen, d.h.,
der Zähler ist -verteilt.
Außerdem ergibt sich aus Theorem 5.5, dass Zähler
und Nenner unabhängig sind und dass
.
Hieraus und aus der Definition der F-Verteilung folgt, dass
(51) gilt, falls
Beachte
Es gilt t
für jedes hinreichend große .
Hieraus folgt, dass der simultane Konfidenzbereich, der in
Theorem 5.8 mit Hilfe der Bonferroni-Ungleichung
(46) hergeleitet worden ist, für große
größer ist als der simultane Konfidenzbereich, der sich aus dem
in Theorem 5.9 konstruierten Konfidenzband ergibt.
Auf den ersten Blick scheint dies ein Widerspruch zu sein, weil in
Theorem 5.9 die Überdeckungseigenschaft für
alle gefordert wird, während diese Eigenschaft in
Theorem 5.8 nur für endlich viele
Ausgangswerte
betrachtet wird.
Der Grund, dass Theorem 5.9 für große zu
kleineren (d.h. besseren) simultanen Konfidenzbereichen führt,
besteht darin, dass die Bonferroni-Ungleichung (46)
für große nur eine sehr ungenaue untere Schranke für die
Wahrscheinlichkeit
liefert.