Dann ist die Matrix-Exponentialfunktion
eine Übergangsfunktion, die den Kolmogorowschen
Differentialgleichungen
und
genügt, d.h.,
die Intensitätsmatrix der Übergangsfunktion
ist gleich
.
Beweis
Wenn
, dann ist die Aussage offensichtlich. Es
gelte also nun
.
Wir überprüfen zunächst, dass
für jedes
eine stochastische Matrix ist.
Weil
, gilt
für jedes
und somit
.
Um zu zeigen, dass sämtliche Eintragungen von
nichtnegativ sind, setzen wir
Dann ist die Matrix
mit
(32)
nichtnegativ, und wegen
ist
auch stochastisch.
Aus der Darstellungsformel
(33)
ergibt sich nun, dass die Eintragungen von
nichtnegativ sind.
Dabei wird bei der Herleitung von (33) die Identität
(31) benutzt zusammen mit der Tatsache, dass
.
Außerdem ergibt sich aus (31), dass
der
Chapman-Kolmogorow-Gleichung (8) genügt.
Mit Hilfe von (29) ergibt sich nun, dass
die Intensitätsmatrix der Übergangsfunktion
ist,
d.h.,
ist eine Lösung von (25) und
(26).
Theorem 2.16
Jede Übergangsfunktion
lässt sich wie folgt
durch ihre Intensitätsmatrix
ausdrücken: Es gilt
(34)
Beweis
Aus Lemma 2.4 folgt, dass die Matrix-Funktion
mit
eine
Lösung der Kolmogorowschen Rückwärtsgleichung (25)
ist, die der Anfangsbedingung
genügt.
Aus der Theorie der gewöhnlichen linearen
Differentialgleichungssysteme ergibt sich dann, dass diese Lösung
eindeutig bestimmt ist.
Somit gilt
für jedes .
Beachte
Zusammen mit Theorem 2.16 ergibt sich aus
(32) und (33)
die folgende Darstellungsformel der Übergangsfunktion
:
(35)
wobei
eine stochastische Matrix
ist und
.
Aus (35) folgt insbesondere, dass
für
beliebige und .
Ähnlich wie bei Markow-Ketten mit diskreter Zeit (vgl.
Abschnitt MC-2.1.4) kann die Spektraldarstellung von
zur
Berechnung der Matrix-Exponentialfunktion
verwendet werden, falls die Eigenwerte
von
paarweise
verschieden sind.
Zur Erinnerung
Sei
eine beliebige
Matrix, seien
zwei -dimensionale (Spalten-)
Vektoren, so daß jeweils mindestens eine ihrer Komponenten von 0
verschieden ist, und sei eine beliebige (reelle oder
komplexe) Zahl.
Falls
bzw.
(36)
dann ist ein Eigenwert von
, und
bzw.
ist ein rechter bzw. linker (zu
gehörender) Eigenvektor.
äquivalent sind, ist genau dann ein Eigenwert von
, wenn eine Lösung der sogenannten charakteristischen Gleichung ist:
(37)
Weil (37) eine algebraische Gleichung der Ordnung
ist, besitzt sie somit Lösungen
, die komplex sein können und die
nicht alle voneinander verschieden sein müssen.
Wir nehmen o.B.d.A. an, dass die Eigenwerte
so numeriert sind, dass
Für jeden Eigenwert existieren (jeweils von
verschiedene) rechte bzw. linke Eigenvektoren
bzw.
.
Sei
die
Matrix, die aus den rechten Eigenvektoren
besteht, und sei
die
Matrix, die aus den linken Eigenvektoren
gebildet wird.
Mit dieser Schreibweise ergibt sich, dass
(38)
wobei
und
die Diagonalmatrix mit den Diagonalelementen
bezeichnet.
Falls die Eigenwerte
paarweise verschieden sind, dann sind die Eigenvektoren
linear unabhängig (vgl.
beispielsweise Lemma MC-2.2).
Somit existiert die inverse Matrix
, und wir können
setzen.
Außerdem ergibt sich in diesem Fall aus (38), dass
bzw.
Hieraus ergibt sich die Spektraldarstellung von
mit
(39)
Falls die Eigenwerte
der
Intensitätsmatrix
paarweise verschieden sind, dann gilt
also
(40)
für jedes , wobei
(rechte bzw.
linke) Eigenvektoren des Eigenwertes sind.