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Eingebettete Markow-Ketten; Simulationsalgorithmus
Abbildung:
Eingebettete Markow-Kette
[width=11cm]Bilder/EmbeddedMarkov.eps
|
- Schritt 1
Sei und
, wobei
gesetzt wird, falls
.
- Die Zufallsvariable
ist die Aufenthaltsdauer
des zu konstruierenden Markow-Prozesses im (zufälligen)
Anfangszustand
, der zum Zeitpunkt gewählt
wird.
- Dabei gilt
für jedes mit
; .
- Schritt 2 Sei
und
für
, wodurch die Trajektorie von bis zum
ersten Sprungzeitpunkt gegeben ist.
Abbildung 6:
Aufenthaltsdauer im Zustand
[width=11cm]Bilder/Markov2.eps
|
- Schritt 3 (analog zu Schritt 1) Sei
, wodurch
- die Aufenthaltsdauer von im Zustand
gegeben ist, der zum Zeitpunkt gewählt wird, vgl.
Abb. 6.
- Dabei gilt
, falls
.
- Schritt 4 Sei
und
für
.
-
- Schritt
Wir nehmen nun an, dass
die Größen
und
für ein bereits definiert
worden sind, und setzen
.
- Schritt
Sei
und
für
.
- Beachte
-
- Auf diese Weise lassen sich die Trajektorien von
für beliebige konstruieren, weil man sich leicht
überlegen kann, dass
.
- Somit ist durch das oben beschriebene Konstruktionsprinzip ein
Algorithmus zur Simulation des zeitstetigen Prozesses
gegeben, wobei vorausgesetzt wird, dass
Algorithmen
- zur Simulation der Folge
von unabhängigen und
Exp-verteilten Zufallsvariablen sowie
- der eingebetteten Marlow-Kette
vorhanden sind.
- Außerdem kann man zeigen, dass die endlich-dimensionalen
Verteilungen des Prozesses
die
Faktorisierungeigenschaft besitzen, die in der
Definitionsgleichung (10) von Markow-Prozessen
postuliert wird.
Theorem 2.17
Der in
gegebene stochastische Prozess
ist ein homogener
Markow-Prozess.
- Beweis
-
Wir zeigen nun, dass der in diesem Abschnitt konstruierte
stochastische Prozess
der ,,richtige''
Markow-Prozess ist, d.h., seine Intensitätsmatrix ist gleich der
vorgegebenen Matrix
.
- Hierfür muss gezeigt werden, dass sich die
Übergangswahrscheinlichkeiten
des Markow-Prozesses
durch die ,,lokalen''
Charakteristiken
und
ausdrücken
lassen.
- Dabei sagt man, dass ein absorbierender Zustand
ist, falls .
Theorem 2.18
Für beliebige
und
gilt
|
(44) |
Insbesondere gilt
für beliebige
und
, wenn
ein absorbierender Zustand ist.
- Beweis
-
- Beweis
- Um (45) zu beweisen, genügt es,
in (44) die Ableitung bezüglich zu bilden und
danach den Grenzwert für
zu betrachten.
- Beachte
- Wenn man die Formeln (13) und
(45) miteinander vergleicht, dann erkennt man, dass
die Intensitätsmatrix des in diesem Abschnitt konstruierten
Markow-Prozesses
mit der vorgegebenen Matrix
übereinstimmt.
- Beispiel
-
- Der in diesem Abschnitt konstruierte Markow-Prozess
heißt Geburts- und Todesprozess, wenn
für beliebige und
gilt.
- Die Produkte
und
heißen Geburtsrate bzw. Sterberate.
- Diese Begriffsbildungen lassen sich damit begründen, dass die
Größen
und
gemäß Korollar 2.3 mit den Übergangsintensitäten
und für die Übergänge bzw.
im Sinne der Definitionsgleichung (13)
übereinstimmen.
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Jonas Rumpf
2006-07-27