Klassische ANOVA-Nullhypothese; Kontraste

• Die klassische ANOVA-Nullhypothese ist $H_0:\theta_1=\ldots=\theta_k$.
• Als Alternative wird meistens die Hypothese $H_1:$ ,,nicht $H_0$'' betrachtet, d.h. $H_1: \theta_i\not=\theta_j$ für ein Paar $(i,j)$ mit $i\not=j$.
• Die Nullhypothese $H_0:\theta_1=\ldots=\theta_k$ kann nun mit Hilfe sogenannter Konstraste ausgedrückt werden.

Definition

 

• Sei ${\mathbf{t}}=(t_1,\ldots,t_k)\in\mathbb{R}^k$ ein beliebiger Vektor von Variablen, und sei ${\mathbf{a}}=(a_1,\ldots,a_k)\in\mathbb{R}^k$ ein Vektor von (bekannten) Konstanten.
• Die Abbildung
  $${\mathbf{t}}\to\sum\limits_{i=1}^k a_i t_i$$
  heißt Kontrast, falls $\sum_{i=1}^k a_i=0$.

Theorem 2.10   $\;$ Seien $\theta_1,\ldots,\theta_k\in\mathbb{R}$ beliebige Parameter, sei ${\mathbf{o}}=(0,\ldots,0)$ der Nullvektor, und sei

$$\mathcal{A}=\Bigl\{{\mathbf{a}}=(a_1,\ldots,a_k):\,{\mathbf{a}}\not={\bf o},\, \sum\limits_{i=1}^k a_i=0\Bigr\}\,.$$

Für die Gültigkeit von $\theta_1=\ldots=\theta_k$ ist dann notwendig und hinreichend, daß $\sum_{i=1}^k a_i\theta_i=0$ für jedes ${\mathbf{a}}\in\mathcal{A}$.

Beweis

 

• Falls $\theta_1=\ldots=\theta_k=\theta$, dann gilt für jedes ${\mathbf{a}}\in\mathcal{A}$
  $$\sum\limits_{i=1}^k a_i\theta_i=\theta \sum\limits_{i=1}^k a_i=0\,.$$

• Um die Hinlänglichkeit der Bedingung zu beweisen, betrachten wir die Vektoren ${\mathbf{a}}_1,\ldots,{\mathbf{a}}_{k-1}\in\mathcal{A}$ mit
  $${\mathbf{a}}_1=(1,-1,0,\ldots,0)\,,\quad{\mathbf{a}}_2=(0,1,-1,0,\ldots,0)\,,\quad\ldots\,,\quad {\mathbf{a}}_{k-1}=(0,\ldots,0,1,-1)\,.$$

• Aus der Gültigkeit der Bedingung für ${\mathbf{a}}_1$ ergibt sich, daß $\theta_1=\theta_2$, $\ldots$, aus der Gültigkeit der Bedingung für ${\mathbf{a}}_{k-1}$ ergibt sich, daß $\theta_{k-1}=\theta_k$.
  
  $\Box$

Beachte

 

• Wegen Theorem 2.10 kann die ANOVA-Nullhypothese $H_0:\theta_1=\ldots=\theta_k$ geschrieben werden in der Form
  $$H_0:\;\sum\limits_{i=1}^k a_i\theta_i=0\;$$$$\mbox{für jedes ${\mathbf{a}}\in\mathcal{A}$,}$$$$$$
  d.h., jeder Kontrast nimmt im Punkt ${\mathbf{t}}=(\theta_1,\ldots,\theta_k)$ den Wert 0 an.
• Die alternative Hypothese $H_1:$ ,,nicht $H_0$'' ist genau dann richtig, wenn
  $$H_1:\;\sum\limits_{i=1}^k a_i\theta_i\not=0\;$$$$\mbox{für ein ${\mathbf{a}}\in\mathcal{A}$,}$$$$$$
  d.h., es gibt einen Kontrast, der im Punkt ${\mathbf{t}}=(\theta_1,\ldots,\theta_k)$ nicht den Wert 0 annimmt.