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t-Test und Konfidenzintervall für Linearkombinationen von Erwartungswerten

Theorem 2.11   Für jedes $ {\mathbf{a}}=(a_1,\ldots,a_k)\in\mathbb{R}^k$ gilt

$\displaystyle \sum\limits_{i=1}^k a_i\overline Y_{i\cdot}\sim\,{\rm N}\Bigl(\su...
...\frac{a_i^2}{n_i}\Bigr)\,,\qquad \frac{(n-k)S^2_p}{\sigma^2}\sim\chi^2_{n-k}\,,$ (57)

und die Zufallsvariablen $ \sum_{i=1}^k a_i\overline Y_{i\cdot}$ und $ S_p^2$ sind unabhängig, wobei

$\displaystyle S_p^2=\frac{1}{n-k}\;\sum\limits_{i=1}^k\sum\limits_{j=1}^{n_i}\bigl(Y_{ij}-\overline Y_{i\cdot}\bigr)^2$ (58)

die sogenannte gepoolte Stichprobenvarianz (pooled sample variance) ist.

Beweis
 

Beachte
 


Durch eine geeignete Wahl des Vektors $ {\mathbf{a}}=(a_1,\ldots,a_k)\in\mathbb{R}$ ergeben sich aus (61) Tests spezifischer Eigenschaften der Erwartungswerte $ \theta_1,\ldots,\theta_k$.

Beispiele
 
  1. Für $ {\mathbf{a}}=(1,-1,0,\ldots,0)$ ergibt sich aus (61) ein
    • Test der Hypothese $ H_0:\theta_1=\theta_2$ zum Niveau $ 1-\gamma\in(0,1)$ (gegen die Alternative $ H_1:\theta_1\not=\theta_2$).
    • Dabei wird die Nullhypothese $ H_0$ abgelehnt, falls

      $\displaystyle \Biggl\vert\frac{\overline Y_{1\cdot}-\overline Y_{2\cdot} }{\sqr...
...(\frac{1}{n_1}\,+\,\frac{1}{n_2}\Bigr) }}\Biggr\vert> t_{n-k,1-(1-\gamma)/2}\,.$ (63)

    • Beachte: Dieser Test unterscheidet sich von dem in Abschnitt I.4.3.1 betrachteten 2-Stichproben-Test der Gleichheit zweier Erwartungswerte (bei unbekannter Varianz $ \sigma ^2$) dadurch, daß in den jetzt verwendeten (gepoolten) Schätzer $ S^2_p$ für $ \sigma ^2$
      • nicht nur die Information aus der Beobachtung der ersten beiden Teilstichproben $ (Y_{1j},\, j=1,\ldots,n_1)$ und $ (Y_{2j},\,
j=1,\ldots,n_2)$,
      • sondern die Information aus der Beobachtung sämtlicher $ k$ Teilstichproben einfließt.
  2. Für $ {\mathbf{a}}=(1,-1/2,-1/2,0,\ldots,0)$ ergibt sich aus (61) ein
    • Test der Hypothese $ H_0:\theta_1=(\theta_2+\theta_3)/2$ zum Niveau $ 1-\gamma\in(0,1)$ (gegen die Alternative $ H_1:\theta_1\not=(\theta_2+\theta_3)/2$).
    • Dabei wird die Nullhypothese $ H_0$ abgelehnt, falls

      $\displaystyle \Biggl\vert\frac{\overline Y_{1\cdot}-\,\displaystyle\frac{1}{2}\...
...frac{1}{4n_2}\,+\,\frac{1}{4n_3}\Bigr) }}\Biggr\vert> t_{n-k,1-(1-\gamma)/2}\,.$ (64)


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Ursa Pantle 2003-03-10