und die Zufallsvariablen
und sind unabhängig, wobei
(58)
die sogenannte gepoolte Stichprobenvarianz (pooled sample
variance) ist.
Beweis
Weil vorausgesetzt wird, daß die Störgrößen
unabhängig
und normalverteilt sind, gilt offenbar
und die (Teil-) Stichprobenmittel
sind unabhängig und
normalverteilt mit
Die erste Verteilungseigenschaft in (57) ergibt
sich nun aus den allgemeinen Rechenregeln bei
Lineartransformation bzw. Faltung von Normalverteilungen; vgl.
die Teilaussage 1 von Lemma 2.3.
Darüber hinaus gilt gemäß Theorem I.1.11, daß
(59)
wobei
die Stichprobenvarianz der -ten Teilstichprobe
ist.
Außerdem gilt offenbar
Weil die Zufallsvariablen
unabhängig sind,
ergibt sich hieraus, aus (59) und aus der
Definition der -Verteilung, daß die gepoolte
Stichprobenvarianz ebenfalls -verteilt ist und
zwar mit
Freiheitsgraden.
Wegen
ist somit die zweite
Verteilungseigenschaft in (57) bewiesen.
Um zu beweisen, daß die Zufallsvariablen
und unabhängig sind, zeigen wir
zunächst, daß die Zufallsvariablen
und
für beliebige
unkorreliert sind.
Falls
, dann ergibt sich dies unmittelbar aus der
Unabhängigkeit der Zufallsvariablen .
Außerdem gilt
Aus den Teilaussagen 2 und 3 von Lemma 2.3 ergibt
sich nun, daß dann auch die Zufallsvektoren
und
unabhängig sind.
Aus dem Transformationssatz für unabhängige Zufallsvektoren (vgl.
Theorem I.1.8) ergibt sich somit, daß auch die Zufallsvariablen
und unabhängig
sind.
Beachte
Aus Theorem 2.11 und aus der Definition der
t-Verteilung (vgl. Abschnitt 2.1.4) folgt, daß für
jedes
(60)
Die in (60) betrachtete Zufallsvariable führt nun
zu einem Test der Hypothese
zum
Niveau
(gegen die Alternative
).
Dabei wird die Nullhypothese abgelehnt, falls
(61)
Außerdem ergibt sich aus (60) ohne weiteres das
folgende Konfidenzintervall zum Niveau
für
, denn mit Wahrscheinlichkeit
gilt
(62)
Durch eine geeignete Wahl des Vektors
ergeben sich aus
(61) Tests spezifischer Eigenschaften der
Erwartungswerte
.
Test der Hypothese
zum Niveau
(gegen die Alternative
).
Dabei wird die Nullhypothese abgelehnt, falls
(63)
Beachte: Dieser Test unterscheidet sich von dem in
Abschnitt I.4.3.1 betrachteten 2-Stichproben-Test der Gleichheit
zweier Erwartungswerte (bei unbekannter Varianz )
dadurch, daß in den jetzt verwendeten (gepoolten) Schätzer
für
nicht nur die Information aus der Beobachtung der ersten beiden
Teilstichproben
und
,
sondern die Information aus der Beobachtung sämtlicher
Teilstichproben einfließt.