Einfaktorielle Varianzanalyse

• Das in Abschnitt 2.2 eingeführte Modell der einfaktoriellen Varianzanalyse kann auf zwei verschiedene Weisen als lineares Modell dargestellt werden.
• In beiden Fällen wird die Zufallsstichprobe ${\mathbf{Y}}=(Y_1,\ldots,Y_n)^\top$ so wie in Abschnitt 2.2 strukturiert, d.h. ${\mathbf{Y}}=\bigl(Y_{11},\ldots,Y_{1n_1},Y_{21}, \ldots,Y_{2n_2},\ldots,Y_{k1},\ldots,Y_{kn_k} \bigr)^\top$, wobei $n_1+\ldots+n_k=n$.
• Der Zufallsvektor ${\mathbf{Y}}$ wird in der Form ${\mathbf{Y}}={\mathbf{X}}{\boldsymbol{\beta}}+{\boldsymbol{\varepsilon }}$ dargestellt, wobei die Designmatrix ${\mathbf{X}}$ und der Parametervektor ${\boldsymbol {\beta }}$ jeweils unterschiedlich gewählt werden.
• Dabei hat ${\mathbf{X}}$ im ersten Fall vollen Rang, im zweiten Fall jedoch keinen vollen Rang.
• Denn im zweiten Fall wird eine Reparametrisierung der Erwartungswerte $\theta_i={\mathbb{E}\,}Y_{ij}$ betrachtet, die den einzelnen Stufen des Einflußfaktors entsprechen.
• Dabei wird eine zusätzliche (erste) Spalte zu der ursprünglichen Designmatrix ${\mathbf{X}}$ hinzugefügt, die aus lauter Einsen besteht, weshalb die neue Designmatrix dann keinen vollen Rang hat.

Fall 1

 

• Im ersten Fall ist die Designmatrix ${\mathbf{X}}$ gegeben durch die $n\times k$ Matrix

  $${\mathbf{X}}=\left(\begin{array}{cccccc} 1 & 0 & 0 &\ldots & 0 & ... ... &\vdots & &\vdots & \vdots\\ 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 1 \end{array}\right)\,,$$ (4)

  
  
  und der Parametervektor ${\boldsymbol {\beta }}$ ist gegeben durch ${\boldsymbol{\beta}}=(\theta_1,\ldots,\theta_k)^\top$.

Fall 2

 

• Wir betrachten nun die folgende Reparametrisierung der Erwartungswerte $\theta_1,\ldots,\theta_k$, die den Stufen des Einflußfaktors entsprechen.
• Und zwar seien $\mu\in\mathbb{R}$ und $\alpha_1,\ldots,\alpha_k\in\mathbb{R}$ reelle Zahlen, so daß

  $$\theta_i=\mu+\alpha_i\,,\qquad\forall\, i=1,\ldots,k$$ (5)

  
  
  und

  $$\sum\limits_{i=1}^k n_i\alpha_i=0\,.$$ (6)

  
  

• Dann läßt sich die Zufallsstichprobe ${\mathbf{Y}}$ des einfaktoriellen Varianzanalyse-Modells ebenfalls in der Form ${\mathbf{Y}}={\mathbf{X}}{\boldsymbol{\beta}}+{\boldsymbol{\varepsilon }}$ darstellen, wobei die Designmatrix ${\mathbf{X}}$ jetzt allerdings gegeben ist durch die $n\times (k+1)$ Matrix

  $${\mathbf{X}}=\left(\begin{array}{ccccccc} 1 & 1 & 0 & 0 &\ldots &... ...dots & &\vdots & \vdots\\ 1 & 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 1 \end{array}\right)\,,$$ (7)

  
  
  und der Parametervektor ${\boldsymbol {\beta }}$ ist gegeben durch ${\boldsymbol{\beta}}=(\mu,\alpha_1,\ldots,\alpha_k)^\top$.

Beachte

 

• Die lineare Nebenbedingung (6) an die Komponenten $\alpha_1,\ldots,\alpha_k$ des Parametervektors ${\boldsymbol {\beta }}$ bewirkt, daß die Darstellung (5) - (6) der Erwartungswerte $\theta_1,\ldots,\theta_k$ eindeutig ist, vgl. Übungsaufgabe 10.1a.
• Aus (5) und (6) ergibt sich außerdem, daß
  $$\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^k\sum\limits_{j=1}^{n_i}{\mathbb{E}\,} Y_{ij}=\mu\,,$$
  wobei
  • der Parameter $\mu$ als allgemeines Mittel der Erwartungswerte ${\mathbb{E}\,}Y_{ij}$ der Stichprobenvariablen $Y_{ij}$ aufgefaßt werden kann und
  • der (Abweichungs-) Parameter $\alpha_i$ der Effekt der $i$-ten Stufe des Einflußfaktors genannt wird.
• Für die in (7) gegebene Designmatrix ${\mathbf{X}}$ gilt ${\,{\rm rg}}({\mathbf{X}})=k$, d.h., die $n\times (k+1)$ Matrix ${\mathbf{X}}$ hat keinen vollen Spaltenrang.