Definition und elementare Eigenschaften

Gegeben sei ein Messraum $(\Omega ,\mathcal{F})$. Betrachten eine Mengenfunktion, d.h. eine Abbildung $P:\mathcal{F}\rightarrow[0,1]$, die jeder Menge $A\in\mathcal{F}$ eine Zahl $P(A)\in[0,1]$ zuordnet. Dann heißt $P(A)$ Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $A\in\mathcal{F}$.

Definition

 

• Die Mengenfunktion $P:\mathcal{F}\rightarrow[0,1]$ heißt Wahrscheinlichkeitsmaß auf $\mathcal{F}$, falls

  (P1)

  $P(\Omega )=1$ (,,Normiertheit'')

  (P2)

  $P( \bigcup\limits _{i=1}^{\infty }A_{i}) =\sum\limits _{i=1}^{\infty }P(A_{i})$ für paarweise disjunkte $A_{1},A_{2},\ldots \in \mathcal{F}$ (,,$\sigma$-Additivität'')

• Falls $(\Omega ,\mathcal{F})$ ein Messraum und $P$ ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf $\mathcal{F}$ ist, dann heißt das Tripel $(\Omega ,\mathcal{F},P)$ Wahrscheinlichkeitsraum.

Theorem 2.1   Sei $(\Omega ,\mathcal{F},P)$ ein Wahrscheinlichkeitsraum und $A, A_{1}, A_{2},\ldots \in \mathcal{F}$. Dann gilt

1.

$P\left( A^{c}\right) =1-P(A)$

2.

$A_{1}\subset A_{2}\Rightarrow P(A_{1})\leq P(A_{2})$

3.

$P(A_{1}\cup A_{2})=P(A_{1})+P(A_{2})-P(A_{1}\cap A_{2})$

4.

$P(A_1\cup A_2) \leq P(A_1)+P(A_2)$

Beweis

 

1. Es gilt
   

   $$1 = P(\Omega)=P(A\cup A^{c})$$

   $$= P\left( A\cup A^{c}\cup\emptyset\cup\emptyset\cup\ldots\right)$$

   $$= P(A)+P\left( A^{c}\right)+P(\emptyset)+P(\emptyset)+\ldots$$

   
   
   Hieraus folgt, dass $P(\emptyset)=0$, d.h. $1=P(\Omega ) =P(A)+P(A^c)$.
2. Außerdem gilt
   $$P(A_{2})=P\left( A_{1}\cup \left( A_{2}\setminus A_{1}\right) \ri... ...\underbrace{P(A_{2}\setminus A_{1})}_{\geq 0}\Rightarrow P(A_{2})\geq P(A_{1})$$

3. Weil $P(A\setminus B)=P(A)-P(B)$ für $A,B\in\mathcal{F}$ mit $A\supset B$ (vgl. den Beweis der Teilaussage 2) und weil
   $$A_1\cup A_2=(A_1\setminus(A_2\cap A_1))\cup(A_1\cap A_2)\cup (A_2\setminus(A_1\cap A_2))\,,$$
   gilt
   

   $$P(A_1\cup A_2) = P(A_1\setminus(A_2\cap A_1))+P(A_1\cap A_2)+P(A_2\setminus(A_1\cap A_2))$$

   $$= P(A_1)-P(A_1\cap A_2)+P(A_1\cap A_2)+P(A_2)-P(A_1\cap A_2)$$

   $$= P(A_{1})+P(A_{2})-P(A_{1}\cap A_{2})\,.$$

   
   

4. $\;$ folgt unmittelbar aus 3.

Beachte

$\;$ Aus dem Beweis bzw. aus den Aussagen von Theorem 2.1 ergibt sich sofort, dass

• $P(\emptyset)=0$,
• $P( \bigcup\limits _{i=1}^n A_{i}) =\sum\limits _{i=1}^n P(A_{i})$ für jede endliche Folge $A_{1},\ldots, A_n \in \mathcal{F}$ von paarweise disjunkten Mengen,
• $P(A_2\setminus A_1)=P(A_2)-P(A_1)$, falls $A_{1}\subset A_{2}$,
• $P( \bigcup\limits ^{n}_{i=1}A_{i}) \leq \sum\limits ^{n}_{i=1}P(A_{i})$ für jede beliebige Folge $A_{1},\ldots, A_n \in \mathcal{F}$.

In Verallgemeinerung der 3. Teilaussage von Theorem 2.1 ergibt sich außerdem die folgende Siebformel.

Korollar 2.1   Für jedes $n=1,2,\ldots$ und jede Folge $A_1,\ldots,A_n\in\mathcal{F}$ gilt

$$P\bigl(\bigcup\limits_{i=1}^n A_i\bigr)=\sum_{i=1}^n (-1)^{i-1}\sum\limits_{1\le k_1<\ldots<k_i\le n} P(A_{k_1}\cap\ldots\cap A_{k_i})\,.$$ (4)

Beweis

$\;$ (Induktion)

• Induktionsanfang: $n=1$ ist klar; für $n=2$ ist (4) identisch mit der 3. Teilaussage von Theorem 2.1.
• Induktionsannahme: (4) gelte für ein $n\ge 2$.
• Induktionsschritt: Wir zeigen nun, dass dann (4) auch für $n+1$ gilt. Und zwar ist
  

  $$P\bigl(\bigcup\limits_{i=1}^{n+1} A_i\bigr) = P\bigl(A_{n+1}\setminus(A_{n+1}\cap\bigcup_{i=1}^n A_i) \cup\bigcup_{i=1}^n A_i\bigr)$$

  $$= P(A_{n+1})-P\bigl(\bigcup_{i=1}^n (A_i\cap A_{n+1})\bigr)+P\bigl( \bigcup_{i=1}^n A_i\bigr)$$

  $$\stackrel{\mbox{Ind.-annahme}}{=} P(A_{n+1})-\sum_{i=1}^n (-1)^{i-1}\sum\limits_{1\le k_1<\ldots<k_i\le n} P(A_{k_1}\cap\ldots\cap A_{k_i}\cap A_{n+1})$$

  $$\hspace{3cm} +\sum_{i=1}^n (-1)^{i-1}\sum\limits_{1\le k_1<\ldots<k_i\le n} P(A_{k_1}\cap\ldots\cap A_{k_i})$$

  $$= \sum_{i=1}^{n+1} (-1)^{i-1}\sum\limits_{1\le k_1<\ldots<k_i\le n+1} P(A_{k_1}\cap\ldots\cap A_{k_i})\,.$$

  
  
  
   
    $\Box$
  
  
  

Darüber hinaus kann man mit Hilfe von Theorem 2.1 zeigen, dass Wahrscheinlichkeitsmaße stetig sind bezüglich der monotonen Konvergenz von Mengen.

Korollar 2.2   Sei $A_1,A_2,\ldots\in\mathcal{F}$. Dann gilt

$$P\bigl(\bigcup\limits_{i=1}^\infty A_i\bigr)=\lim\limits_{i\to\infty} P(A_i)\,, \mbox{falls $A_1\subset A_2\subset\ldots$,}$$ (5)

und

$$P\bigl(\bigcap\limits_{i=1}^\infty A_i\bigr)=\lim\limits_{i\to\infty} P(A_i)\,, \mbox{falls $A_1\supset A_2\supset\ldots$.}$$ (6)

Beweis$\;$ Sei $A_1\subset A_2\subset\ldots$. Mit der zusätzlichen Notation $A_0=\emptyset$ gilt dann

$$P\bigl(\bigcup\limits_{i=1}^\infty A_i\bigr) = P\bigl(\bigcup\limits_{i=1}^\infty (A_i\setminus A_{i-1})\bigr)$$

$$= \sum\limits_{i=1}^\infty P(A_i\setminus A_{i-1})$$

$$= \lim\limits_{n\to\infty}\sum\limits_{i=1}^n P(A_i\setminus A_{i-1})$$

$$= \lim\limits_{n\to\infty}P(A_n)\,.$$

Damit ist (5) bewiesen. Der Beweis von (6) ist analog. Dabei kann die bereits gezeigte Formel (5) genutzt werden, wenn zu den Komplementen übergegangen wird.

$\Box$