Weitere Eigenschaften von Wahrscheinlichkeitsmaßen

Die Subadditivität von Wahrscheinlichkeitsmaßen, die in Teilaussage 4 von Theorem 2.1 betrachtet wurde, gilt nicht nur für zwei bzw. endlich viele Ereignisse, sondern auch für Folgen von unendlich vielen Ereignissen.

Theorem 2.2   Sei $(\Omega ,\mathcal{F},P)$ ein Wahrscheinlichkeitsraum, und $A_{1},A_{2},\ldots \in \mathcal{F}$ seien beliebige Ereignisse. Dann gilt

$$P(\bigcup\limits ^\infty_{i=1}A_{i}) \leq \sum\limits ^\infty_{i=1}P(A_{i})\,.$$ (7)

Beweis$\;$ Anstelle der Folge $\{A_n\}$ betrachten wir die Folge $\{A_n^\prime\}$ von paarweise disjunkten Mengen, wobei

$$A_n^\prime=A_n\setminus \bigcup\limits_{i=1}^{n-1} A_i\,.$$

Dann gilt

$$P\bigl(\bigcup\limits_{i=1}^\infty A_i\bigr) = P\bigl(\bigcup\lim... ... =\sum\limits_{i=1}^\infty P(A_n^\prime) \le\sum\limits_{i=1}^\infty P(A_n)\,,$$

wobei sich die letzte Ungleichung aus der Monotonie von Wahrscheinlichkeitsmaßen ergibt.

$\Box$

Das folgende Korollar wird in der Literatur das Lemma von Borel-Cantelli genannt.

Korollar 2.3   Sei $(\Omega ,\mathcal{F},P)$ ein Wahrscheinlichkeitsraum und $A_{1},A_{2},\ldots \in \mathcal{F}$ eine beliebige Folge von Ereignissen. Dann gilt

$$P(\limsup\nolimits_n A_n)=0\,,$$ (8)

falls

$$\sum\limits_{i=1}^\infty P(A_i)<\infty\,.$$ (9)

Beweis$\;$ Aus Korollar 2.2 und Theorem 2.2 ergibt sich, dass

$$P(\limsup\nolimits_n A_n) = \lim\limits_{k\to\infty} P\bigl(\bigcup\limits_{i=k}^\infty A_i\bigr)$$

$$\le \lim\limits_{k\to\infty} \sum\limits_{i=k}^\infty P(A_i)=0\,,$$

wobei sich die letzte Gleichheit aus der Summierbarkeitsbedingung (9) ergibt.

$\Box$

Wir diskutieren nun den Zusammenhang zwischen der $\sigma$-Additivität und gewissen Stetigkeitseigenschaften von Mengenfunktionen.

Theorem 2.3   Sei $(\Omega ,\mathcal{F})$ ein beliebiger Messraum, und sei $P:\mathcal{F}\to[0,1]$ eine beliebige additive Mengenfunktion, d.h. $P( \bigcup\limits _{i=1}^n A_{i}) =\sum\limits _{i=1}^n P(A_{i})$ gelte für jede endliche Folge von paarweise disjunkten Mengen $A_{1},\ldots, A_n \in \mathcal{F}$. Außerdem gelte $P(\Omega )=1$. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent:

1.

$P$ ist $\sigma$-additiv (und damit ein Wahrscheinlichkeitsmaß),

2.

$P(A_n)\uparrow P(A)$, falls $A_n\uparrow A\in\mathcal{F}$,

3.

$P(A_n)\downarrow P(A)$, falls $A_n\downarrow A\in\mathcal{F}$,

4.

$P(A_n)\downarrow 0$, falls $A_n\downarrow\emptyset$.

Beweis

$\;$ Wir führen einen zyklischen Beweis, d.h., wir zeigen, dass die folgenden Implikationen richtig sind:

$$\mbox{1. $\Longrightarrow$\ 2. $\Longrightarrow$\ 3. $\Longrightarrow$\ 4. $\Longrightarrow$\ 1.}$$

1. $\Longrightarrow$ 2.

  $P$ sei $\sigma$-additiv, und es gelte $A_n\uparrow A\in\mathcal{F}$. Die Behauptung ergibt sich dann genauso wie im Beweis von Korollar 2.2.

2. $\Longrightarrow$ 3.

  Es gelte $A_n\downarrow A\in\mathcal{F}$. Hieraus folgt, dass $A^c_n\uparrow A^c\in\mathcal{F}$. Also ergibt sich aus Aussage 2, dass

$$P(A_n)=1-P(A^c_n)\downarrow 1-P(A^c)=P(A)\,.$$

3. $\Longrightarrow$ 4.

  Diese Implikation gilt offensichtlich, weil die Teilaussage 4 ein Spezialfall von Teilaussage 3 ist.

4. $\Longrightarrow$ 1.

  Seien $A_1,A_2,\ldots\in\mathcal{F}$ paarweise disjunkte Mengen. Dann gilt

$$\bigcup_{i=n+1}^\infty A_i\downarrow\emptyset$$   $$\mbox{für $n\to\infty$.}$$

Also ist

$$P\bigl(\bigcup\limits_{i=1}^\infty A_i\bigr) = P\bigl(\bigcup\limits_{i=1}^n A_i\;\cup\bigcup\limits_{i=n+1}^\infty A_i\bigr)$$

$$= \sum\limits_{i=1}^n P(A_i)+P\bigl(\bigcup\limits_{i=n+1}^\infty A_i\bigr)$$

$$\to \sum\limits_{i=1}^\infty P(A_i)\,,$$

wobei sich die zweite Gleichheit aus der endlichen Additivität von $P$ ergibt.

$\Box$

Für Wahrscheinlichkeitsmaße, d.h. für $\sigma$-additive Mengenfunktionen lassen sich die in Theorem 2.3 betrachteten drei Stetigkeitseigenschaften wie folgt zu einer Stetigkeitseigenschaft zusammenfassen.

Theorem 2.4   Sei $(\Omega ,\mathcal{F},P)$ ein Wahrscheinlichkeitsraum, und $A, A_{1}, A_{2},\ldots \in \mathcal{F}$ seien beliebige Ereignisse. Dann gilt

$$P(A_n)\to P(A)\,, \mbox{falls $A_n\to A$.}$$ (10)

Beweis$\;$ Die Behauptung folgt unmittelbar aus dem Ergebnis von Übungsaufgabe 2.1, denn in dieser Übungsaufgabe wird gezeigt, dass

$$P(\liminf_n A_n)\le\liminf\limits_{n\to\infty} P(A_n)$$

und

$$\limsup\limits_{n\to\infty} P(A_n)\le P(\limsup_n A_n)\,.$$

Weil $A=\liminf_n A_n=\limsup_n A_n$, ergibt sich hieraus, dass

$$\limsup\limits_{n\to\infty} P(A_n)\le P(A)\le \liminf\limits_{n\to\infty} P(A_n),$$

und damit, dass $P(A)=\lim_n P(A_n)$.

$\Box$