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Definition und Multiplikationssatz
Häufig verfügen wir bei der Durchführung von Experimenten über
Vorinformationen, die bei der Berechnung von Wahrscheinlichkeiten
interessierender Ereignisse berücksichtigt werden sollen.
Bei manchen Untersuchungen wird jedoch lediglich (hypothetisch)
angenommen, dass eine bestimmte Vorinformation vorliegt, wobei
dann unter dieser hypothetischen Annahme gerechnet wird. Diese
sogenannte Bayessche Methodik wird im weiteren Verlauf der
Vorlesung noch genauer diskutiert.
- Beispiele
-
- Skatspiel
- Die Kenntnis der eigenen 10 Karten soll als Vorinformation über
die Verteilung der übrigen 22 Karten genutzt werden.
- Markieren die 32 Karten mit den Zahlen
.
- Betrachten Laplaceschen Wahrscheinlichkeitsraum,
wobei die Menge aller Permutationen von Elementen ist
(; mit Reihenfolge und ohne Zurücklegen)
- Gesucht sei die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses
, wobei {Spieler 2 hat Asse}, {Spieler 3 hat
Asse}, unter der Bedingung, dass das Ereignis {Spieler
1 hat die Karten mit den Nummern
}
eintritt.
- Lösungsansatz: Beziehen die Anzahl der
Permutationen, bei denen
eintritt, nicht auf die
Gesamtanzahl ! aller möglichen Permutationen, sondern
lediglich auf diejenigen Permutationen, bei denen das Ereignis
eintritt.
- D.h., die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist die
(bedingte) relative Häufigkeit
- Dabei benutzen wir die Schreibweise:
und nennen diese Größe bedingte Wahrscheinlichkeit des
Ereignisses
unter der Bedingung, dass das
Ereignis eintritt.
- Urnenmodell
- Betrachten Urne mit Elementen ( schwarze, rote
Kugeln), d.h. , vgl. Abschnitt 3.2.2;
- 2 Elemente, , sollen insgesamt ausgewählt werden
(ohne Zurücklegen);
- Sei das Ereignis, beim zweiten Versuch ,,schwarz'' zu
ziehen, und sei das Ereignis, beim ersten Versuch
,,rot'' zu ziehen.
- Gesucht ist die bedingte
Wahrscheinlichkeit
, beim zweiten Versuch ,,schwarz'' zu
ziehen, falls beim ersten Versuch ,,rot'' gezogen wird.
- Es gilt
Dies führt zu der folgenden (allgemeineren) Begriffsbildung.
- Definition
-
Seien
seien beliebige Ereignisse mit . Dann heißt
|
(13) |
die bedingte Wahrscheinlichkeit von unter der Bedingung
.
- Beachte
- Die Definitionsgleichung (13)
kann in der Form
geschrieben
werden. Durch Iteration dieser Überlegung ergibt sich der
folgende Multiplikationssatz.
- Beweis
- klar
- Beispiel
- (Skatspiel)
- Betrachten das Ereignis
{Spieler erhält genau ein As}; .
- Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit
,
dass jeder der drei Spieler genau ein As erhält?
- Lösung: Es gilt
- Hieraus und aus (14) ergibt sich
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Ursa Pantle
2004-05-10