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Definition und Multiplikationssatz
Häufig verfügen wir bei der Durchführung von Experimenten über
Vorinformationen, die bei der Berechnung von Wahrscheinlichkeiten
interessierender Ereignisse berücksichtigt werden sollen.
Bei manchen Untersuchungen wird jedoch lediglich (hypothetisch)
angenommen, dass eine bestimmte Vorinformation vorliegt, wobei
dann unter dieser hypothetischen Annahme gerechnet wird. Diese
sogenannte Bayessche Methodik wird im weiteren Verlauf der
Vorlesung noch genauer diskutiert.
- Beispiele
-
- Skatspiel
- Die Kenntnis der eigenen 10 Karten soll als Vorinformation über
die Verteilung der übrigen 22 Karten genutzt werden.
- Markieren die 32 Karten mit den Zahlen
.
- Betrachten Laplaceschen Wahrscheinlichkeitsraum,
wobei
die Menge aller Permutationen von
Elementen ist
(
; mit Reihenfolge und ohne Zurücklegen)
- Gesucht sei die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses
, wobei
{Spieler 2 hat
Asse},
{Spieler 3 hat
Asse}, unter der Bedingung, dass das Ereignis
{Spieler
1 hat die Karten mit den Nummern
}
eintritt.
- Lösungsansatz: Beziehen die Anzahl der
Permutationen, bei denen
eintritt, nicht auf die
Gesamtanzahl
! aller möglichen Permutationen, sondern
lediglich auf diejenigen Permutationen, bei denen das Ereignis
eintritt.
- D.h., die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist die
(bedingte) relative Häufigkeit
- Dabei benutzen wir die Schreibweise:
und nennen diese Größe bedingte Wahrscheinlichkeit des
Ereignisses
unter der Bedingung, dass das
Ereignis
eintritt.
- Urnenmodell
- Betrachten Urne mit
Elementen (
schwarze,
rote
Kugeln), d.h.
, vgl. Abschnitt 3.2.2;
- 2 Elemente,
, sollen insgesamt ausgewählt werden
(ohne Zurücklegen);
- Sei
das Ereignis, beim zweiten Versuch ,,schwarz'' zu
ziehen, und sei
das Ereignis, beim ersten Versuch
,,rot'' zu ziehen.
- Gesucht ist die bedingte
Wahrscheinlichkeit
, beim zweiten Versuch ,,schwarz'' zu
ziehen, falls beim ersten Versuch ,,rot'' gezogen wird.
- Es gilt
Dies führt zu der folgenden (allgemeineren) Begriffsbildung.
- Definition
Seien
seien beliebige Ereignisse mit
. Dann heißt
 |
(13) |
die bedingte Wahrscheinlichkeit von
unter der Bedingung
.
- Beachte
Die Definitionsgleichung (13)
kann in der Form
geschrieben
werden. Durch Iteration dieser Überlegung ergibt sich der
folgende Multiplikationssatz.
- Beweis
- klar
- Beispiel
- (Skatspiel)
- Betrachten das Ereignis
{Spieler
erhält genau ein As};
.
- Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit
,
dass jeder der drei Spieler genau ein As erhält?
- Lösung: Es gilt
- Hieraus und aus (14) ergibt sich
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Ursa Pantle
2004-05-10