Grundlegende Klassen diskreter Verteilungen (Zusammenfassung)

1. Hypergeometrische Verteilung (Urnenmodell)
   • Betrachten Urne mit $N$ Elementen ($S$ schwarze, $R$ rote Kugeln), d.h. $N=S+R$;
   • $n$ Elemente, $n\leq N$, sollen insgesamt ausgewählt werden;
   • $X=$ Anzahl von schwarzen Kugeln bei $n$ Entnahmen
     $$\displaystyle X:\Omega\to\{ 0,1,\ldots,\min\{n,S\}\},\quad p_{k}=... ...}{N-S\choose n-k}}{ \displaystyle{N\choose n}}\;,\quad k=0,1,\ldots,\min\{S,n\}$$

   • Die hypergeometrische Verteilung hat 3 Parameter: $N,\, S\leq N,\, n\leq N$;
   • Berechnung der Einzelwahrscheinlichkeiten $p_k$ ist schwierig, falls $N$ und $S$ groß sind;
     
   • Ausweg: Binomialverteilung liefert Näherungsformel, falls $N,S\rightarrow \infty$, $\frac{S}{N} \underset{S,N\rightarrow \infty }{\longrightarrow }p$
2. Binomialverteilung (Bernoulli-Schema)
   • $n$-maliger Münzwurf;
   • identische Erfolgswahrscheinlichkeiten $a_1=\ldots=a_n=p$;
   • $X=$ Anzahl der Erfolge bei $n$ Versuchen
     $$X:\Omega\to\{0,1,\ldots,n\},\qquad p_{k}=P(X=k)={n\choose k}p^{k}(1-p)^{n-k},\qquad k=0,1,\ldots,n$$

   • Für jedes $k=0,1,\ldots,n$ gilt
     $$\displaystyle \frac{\displaystyle{S\choose k}{N-S\choose n-k}}{\displaystyle{N\choose n}}\to{n\choose k}p^k(1-p)^{n-k},$$
     falls $N,S\rightarrow \infty$, $\frac{S}{N} \underset{S,N\rightarrow \infty }{\longrightarrow }p$, denn
     

     $$\frac{\displaystyle{S\choose k} {N-S\choose n-k}}{\displaystyle{N\choose n}} = \frac{\displaystyle\frac{S!}{k!(S-k)!}\; \frac{\displaystyle(N-S)!}{(n-k)!(N-S-n+k)!}}{\displaystyle\frac{N!}{n!(N-n)!}}$$

     $$= \frac{n!}{k!(n-k)!}\;\frac{S(S-1)\ldots(S-k+1) (N-S)(N-S-1)\ldots(N-S-n+k+1)}{N(N-1)\ldots (N-n+1)}$$

     $$= {n\choose k}\frac{S}{N}\ldots\frac{S-k+1}{N-k+1}\; \frac{N-S}{N-k}\ldots\frac{N-S-(n-k)+1}{N-n+1}$$

     $$\to {n\choose k}p^k(1-p)^{n-k}\,.$$

     
     

   • Die Binomialverteilung hat 2 Parameter: $n$ und $p$ (Schreibweise: Bin$(n,p)$);
   • Berechnung der Einzelwahrscheinlichkeiten $p_k$ ist schwierig, falls $n$ groß und $p$ klein (oder nahe bei 1) ist;
   • Ausweg: Poisson-Verteilung liefert Näherungsformel, falls $n\to\infty$ und $p\to 0$ mit $n\cdot p\to\lambda$, so dass $0<\lambda <\infty$.
3. Poisson-Verteilung (Gesetz der seltenen Ereignisse)
   • Betrachten diskrete Zufallsvariable $X:\Omega\to\{0,1,\ldots\}$;
   • die Einzelwahrscheinlichkeiten $p_{k}=P(X=k)$ seien gegeben durch
     $$p_k=\frac{\lambda ^{k}}{k!}e^{-\lambda },\qquad k=0,1,\ldots;$$

   • Die Poisson-Verteilung hat 1 Parameter: $\lambda$ (Schreibweise: Poi$(\lambda)$);
   • Gesetz der seltenen Ereignisse: Für jedes $k=0,1,\ldots$ gilt
     $$\displaystyle {n\choose k}p^k(1-p)^{n-k}\to\frac{\lambda ^{k}}{k!}e^{-\lambda },$$
     falls $n\to\infty$ und $p\to 0$ mit $n\cdot p\to\lambda$, denn
     

     $${n\choose k}p^k(1-p)^{n-k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\, p^k(1-p)^{n-k}$$

     $$= \frac{1}{k!}\;\frac{n(n-1)\ldots(n-k+1)}{n^k}\;(np)^k\; \frac{(1-p)^n}{(1-p)^k}$$

     $$\to \frac{1}{k!}\;\lambda^k\,e^{-\lambda}\,.$$

     
     

   
   

4. geometrische Verteilung
   • Sei $X=$ die Anzahl der Versuche bis zum ersten Erfolg im Bernoulli-Schema (mit $n=\infty$), d.h. $X:\Omega\to\{1,2,\ldots\}$;
   • die Einzelwahrscheinlichkeiten $p_{k}=P(X=k)$ sind dann gegeben durch
     $$p_k=p(1-p)^{k-1},\qquad k=1,2,\ldots;$$

   • Die geometrische Verteilung hat 1 Parameter: $p\in(0,1)$.