Definition von Zufallsvariablen

Betrachten einen beliebigen Wahrscheinlichkeitsraum $(\Omega ,\mathcal{F},P)$ und ein beliebiges Element $\omega \in \Omega$, wobei wir so wie bisher $\{\omega \}$ als Elementarereignis bzw. Versuchsergebnis interpretieren.

Beachte

$\;$ Häufig interessiert nicht $\omega$ selbst, sondern eine (quantitative oder qualitative) Kennzahl $X(\omega)$ von $\omega$, d.h., wir betrachten die Abbildung $\omega \rightarrow X(\omega )$.

Beispiele

 

1. $\Omega=$ Menge von Eintragungen in einem Telefonbuch
   $\omega =$ Familienname, $X(\omega )=$ Anzahl der Buchstaben von $\omega$
   oder
   $\omega =$ Telefonnummer, $X(\omega )=$ Anzahl der Ziffer ,,1'' in $\omega$
2. zweimaliges Würfeln $\Omega =\left\{ {\omega }=(\omega _{1};\omega _{2}),\omega _{i}\in \{1,\ldots ,6\}\right\}$
   Augensumme ${\omega }\rightarrow X({\omega })=\omega _{1}+\omega _{2}$
   Sei $A=\left\{ {\omega }:X({\omega })=10\right\} =\left\{ (6,4),(5,5),(4,6)\right\}$ bzw. allgemeiner $A=\{\omega:\; X(\omega)=k\}$, wobei $k\in\{2,\ldots,12\}$.
   Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit $P(A)$. Hierfür ist es erforderlich, dass $A\in\mathcal{F}$.
   Allgemein muss also $\{\omega:\omega\in\Omega,\; X(\omega)=k\}\in\mathcal{F}$ für jedes $k=2,\ldots,12$ gelten.
   Bei diesem Beispiel ist das gleichbedeutend mit $\left\{ \omega :\omega \in \Omega ,X(\omega )\leq x\right\} \in \mathcal{F}$ für jedes $x\in\mathbb{R}$.

Das führt zu der folgenden Begriffsbildung.

Definition

$\;$ Sei $(\Omega ,\mathcal{F},P)$ ein beliebiger Wahrscheinlichkeitsraum. Die Abbildung $X:\Omega \rightarrow \mathbb{R}$ heißt Zufallsvariable (bzw. Zufallsgröße), falls

$$\{\omega :\omega\in\Omega ,X(\omega )\leq x\}\in\mathcal{F} \qquad\forall x\in \mathbb{R}\,.$$ (1)

Beachte

 

1. Die Regularitätsbedingung (1) wird Messbarkeit der Abbildung $X$ bezüglich der $\sigma$-Algebra $\mathcal{F}$ genannt.
2. In vielen Fällen interessiert nicht nur die Wahrscheinlichkeit, dass die Werte $X(\omega)$ der Zufallsvariablen $X$ einen vorgegebenen Schwellenwert $x$ nicht überschreiten, d.h., dass $X$ Werte im Intervall $B=(-\infty,x]$ annimmt.
3. Oftmals interessiert auch die Wahrscheinlichkeit, dass $X$ Werte in einer allgemeineren Teilmenge $B\subset\mathbb{R}$ annimmt, wobei $B$ beispielsweise die Vereinigung von mehreren disjunkten Intervallen sein kann.
4. Deshalb wird nicht nur im Grundraum $\Omega$, sondern auch im Bildraum $\mathbb{R}$ ein System von Teilmengen von $\mathbb{R}$ betrachtet, das abgeschlossen bezüglich der Mengenoperationen $\cup,\cap,\setminus$ ist.
5. Dabei wird oft die Borel-$\sigma$-Algebra $\mathcal{B}(\mathbb{R})$ betrachtet, die definiert ist als die kleinste $\sigma$-Algebra von Teilmengen von $\mathbb{R}$, die alle offenen Intervalle $(a,b)$ enthält; $-\infty<a<b<\infty$. D.h.
   $$\mathcal{B}(\mathbb{R})=\sigma \Bigl( \underbrace{\{ (a,b),\,-\infty < a < b < \infty \} }_{\textrm{Erzeugersystem}}\Bigr)$$

6. Insbesondere enthält $\mathcal{B}(\mathbb{R})$ auch alle halboffenen bzw. abgeschlossenen Intervalle, denn es gilt
   $$(a,b]=\bigcap_{n=1}^\infty(a,b+n^{-1})\in\mathcal{B}(\mathbb{R}),... ...,\quad [a,b]=\bigcap_{n=1}^\infty(a-n^{-1},b+n^{-1})\in\mathcal{B}(\mathbb{R}).$$

7. Für jede abzählbare Teilmenge $C=\{x_1,x_2,\dots\}$ von $\mathbb{R}$ gilt $C\in\mathcal{B}(\mathbb{R})$, denn für jedes $x\in\mathbb{R}$ gilt $\{x\}= \bigcap_{n=1}^\infty(x-n^{-1},x+n^{-1})\in\mathcal{B}(\mathbb{R})$ und damit auch $C=\bigcup_{i=1}^\infty\{x_i\}\in\mathcal{B}(\mathbb{R})$.