Bedingte Wahrscheinlichkeitsfunktion; bedingte Verteilung; bedingte Dichte

Analog zu dem in Abschnitt 2.6.1 eingeführten Begriff der bedingten Wahrscheinlichkeit definieren wir nun die Begriffe der bedingten Verteilung bzw. der bedingten Dichte.

Definition

$\;$ (bedingte Wahrscheinlichkeitsfunktion und bedingte Verteilung)

• Sei $(X,Y)$ ein diskreter Zufallsvektor mit $P((X,Y)\in C)=1$ für eine abzählbare Menge $C=\{(x_i,y_j): i,j\in\mathbb{N}\}$.
• Für jedes $j\in\mathbb{N}$ mit $P(Y=y_j)>0$ heißt dann $\{P(X=x_i\mid Y=y_j),\, i\in\mathbb{N}\}$ die bedingte Wahrscheinlichkeitsfunktion von $X$ unter der Bedingung $\{Y=y_j\}$.
• Sie bestimmt die bedingte Verteilung $\{P(X\in B\mid Y=y_j),\, B\in\mathcal{B}(\mathbb{R})\}$ von $X$ unter der Bedingung $\{Y=y_j\}$ eindeutig.
• Analog heißt $\{P(Y=y_j\mid X=x_i),\, j\in\mathbb{N}\}$ bzw. $\{P(Y\in B\mid X=x_i),\, B\in\mathcal{B}(\mathbb{R})\}$ für jedes $i\in\mathbb{N}$ mit $P(X=x_i)>0$ die bedingte Wahrscheinlichkeitsfunktion bzw. bedingte Verteilung von $Y$ unter der Bedingung $\{X=x_i\}$.

Definition

$\;$ (bedingte Dichte)

• Sei $(X,Y)$ ein absolutstetiger Zufallsvektor mit der gemeinsamen Dichte $f_{(X,Y)}(x,y)$.
• Dann heißt die Funktion $f_{X\mid Y=y}:\mathbb{R}\to[0,\infty)$ mit
  $$f_{X\mid Y=y}(x)=\frac{f_{(X,Y)}(x,y)}{f_Y(y)}$$
  die bedingte Dichte von $X$ unter der Bedingung $\{Y=y\}$, wobei $f_Y(y)>0$ vorausgesetzt wird.
• Analog heißt die Funktion $f_{Y\mid X=x}:\mathbb{R}\to[0,\infty)$ mit
  $$f_{Y\mid X=x}(y)=\frac{f_{(X,Y)}(x,y)}{f_X(x)}$$
  die bedingte Dichte von $Y$ unter der Bedingung $\{X=x\}$, wobei $f_X(x)>0$ vorausgesetzt wird.

Beispiele

 

1. zweimaliges Würfeln
   Sei $X:\Omega\to\{0,1,2\}$ bzw. $Y:\Omega\to\{0,1,2\}$ die (zufällige) Anzahl, mit der die Augenzahl ,,6'' bzw. ,,1'' beim zweimaligen Würfeln erzielt wird; vgl. Abschnitt 3.3.1. Dann ergeben sich die folgenden bedingten Wahrscheinichkeitsfunktionen von $X$ unter der Bedingung $\{Y=j\}$:
   

   
   
   

   			$i$
   	$P(X=i\mid Y=j)$	0	1	2
   	0	$\frac{16}{25}$	$\frac{8}{25}$	$\frac{1}{25}$
   $j$	1	$\frac{8}{10}$	$\frac{2}{10}$	0
   	2	1	0	0

   
   
   
2. integrierte Gleichverteilung
   Sei $(X,Y)$ ein absolutstetiger Zufallsvektor mit der gemeinsamen Dichte
   $$f_{(X,Y)}(x,y)= \left\{ \begin{array}{cc} 4xy\,, & \mbox{falls $0\leq x,\, y\leq 1$}\\ 0 & \mbox{sonst} \end{array}\right.$$
   Für $y\in(0,1]$ gilt dann für die bedingte Dichte von $X$ unter der Bedingung $\{Y=y\}$:
   $$f_{X\mid Y=y}(x)=\frac{f_{(X,Y)}(x,y)}{f_Y(y)}= \left\{\begin{array}{cc} 2x\,,&\mbox{falls $x\in[0,1]$}\\ 0&\mbox{sonst} \end{array}\right.$$
   Die bedingte Dichte $f_{X\mid Y=y}(x)$ stimmt also bei diesem Beispiel mit der (unbedingten Rand-)Dichte $f_X(x)$ von $X$ überein; vgl. Abschnitt 3.3.3.