Transformationssatz für Zufallsvektoren

Auf die gleiche Weise wie Theorem 4.7, d.h. mittels algebraischer Induktion, ergibt sich der folgende Transformationssatz für Zufallsvektoren.

Theorem 4.8   Sei $X:\Omega\to\mathbb{R}^n$ ein beliebiger Zufallsvektor, und sei $\varphi:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ eine Borel-messbare Abbildung, so dass

$$\int\limits_{\mathbb{R}^n}\vert\varphi(x)\vert P_X(dx)<\infty\,.$$ (35)

Für den Erwartungswert ${\mathbb{E}\,}\varphi(X)$ von $\varphi(X):\Omega\to\mathbb{R}$ gilt dann

$${\mathbb{E}\,}\varphi(X)= \int\limits_{\mathbb{R}^n}\varphi(x)P_X(dx)\,.$$ (36)

Die Aussage von Theorem 4.8 lässt sich wie folgt für diskrete bzw. absolutstetige Zufallsvektoren spezifizieren (genauso wie dies im eindimensionalen Fall in Korollar 4.3 getan wurde).

Korollar 4.4   Sei $X:\Omega\to\mathbb{R}^n$ ein beliebiger Zufallsvektor, und sei $\varphi:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ eine beliebige Borel-messbare Abbildung.

1.

$\;$ Falls $X$ diskret ist mit $P(X\in C) =1$ für eine abzählbare Menge $C\subset\mathbb{R}^n$, dann gilt

$${\mathbb{E}\,}\varphi(X)=\sum\limits _{x\in C}\varphi(x)P(X=x)\,,$$ (37)

wobei vorausgesetzt wird, dass

$$\sum\limits _{x\in C}\vert\varphi(x)\vert P(X=x)<\infty\,.$$

2.

$\;$ Falls $X$ absolutstetig ist mit der (gemeinsamen) Dichte $f_X(x)$, dann gilt

$${\mathbb{E}\,}\varphi(X)=\int\limits ^{\infty}_{-\infty}\ldots \i... ...\infty} \varphi(x_1,\ldots,x_n)\, f_{X}(x_1,\ldots,x_n)\, dx_1\,\ldots\,dx_n\,,$$ (38)

wobei vorausgesetzt wird, dass

$$\int\limits ^{\infty}_{-\infty}\ldots \int\limits ^{\infty}_{-\in... ...hi(x_1,\ldots,x_n)\vert\, f_{X}(x_1,\ldots,x_n)\, dx_1\,\ldots\,dx_n<\infty\,.$$

Der Beweis von Korollar 4.4 verläuft analog zum Beweis von Korollar 4.3. Er wird deshalb weggelassen.