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Multiplikationsformel und Kovarianz
- Definition
- Seien
beliebige
Zufallsvariable, so dass
|
(39) |
Der Erwartungswert
des
Produktes
heißt dann gemischtes Moment der Zufallsvariablen
.
- Beachte
- Man kann zeigen, dass die
Integrierbarkeitsbedingung (39) erfüllt ist, falls
für jedes
. Dies ergibt
sich aus der Abschätzung
Mit Hilfe des Transformationssatzes für Zufallsvektoren, der in
Theorem 4.8 diskutiert wurde, lässt sich nun die
folgende Multiplikationsformel für den Erwartungswert des
Produktes von unabhängigen Zufallsvariablen herleiten.
Theorem 4.9
Seien
beliebige Zufallsvariablen mit
für
jedes
. Falls
unabhängig sind, dann gilt
|
(40) |
- Beweis
-
- Beachte
-
- Die Linearitätseigenschaft des Erwartungswertes, die wir in
Teilaussage 3 von Theorem 4.4 gezeigt haben, ist so
für die Varianz nicht zutreffend.
- Für Summen von unabhängigen Zufallsvariablen gilt jedoch das
folgende Additionstheorem für die Varianz.
Theorem 4.10
Seien
unabhängige Zufallsvariablen mit
für
jedes
. Dann gilt
|
(41) |
- Beweis
-
Wir diskutieren nun Eigenschaften des gemischten Momentes
von zwei beliebigen (nicht notwendig unabhängigen)
Zufallsvariablen .
In diesem Zusammenhang führen wir zunächst die Begriffe der Kovarianz und
des Korrelationskoeffizienten ein.
- Definition
-
Seien beliebige Zufallsvariablen mit
für .
- Beachte
-
- Es ist klar, dass Kovarianz und
Korrelationskoeffizient die folgende Symmetrieeigenschaft
besitzt:
|
(44) |
- Außerdem gilt
|
(45) |
Darüber hinaus gelten weitere nützliche Rechenregeln und Abschätzungen
für Kovarianz bzw. Korrelationskoeffizient.
Theorem 4.11
Seien
beliebige Zufallsvariablen mit
für
.
- 1.
- Dann gilt
|
(46) |
- 2.
- und für beliebige Zahlen
|
(47) |
- 3.
- Außerdem gilt die Ungleichung von Cauchy-Schwarz
|
(48) |
bzw.
|
(49) |
- Beweis
-
- Zu 1)
-
Die Formel (46) ergibt sich unmittelbar
aus (16), denn es gilt
- Zu 2)
-
Die Formel (47) ergibt sich durch eine
ähnliche einfache Rechnung aus (16) und
(46), und zwar gilt
- Zu 3)
-
Wir zeigen nun die Gültigkeit der
Ungleichung (48).
- Beweis
-
- Aus der Multiplikationsformel (40) und aus (46) ergibt
sich, dass
Damit ist (50) bewiesen.
- Die Ungleichungen in (51) ergeben sich unmittelbar aus der
Ungleichung (49) von Cauchy-Schwarz und aus der
Definitionsgleichung (43) des
Korrelationskoeffizienten.
- Beachte
-
Die Aussage 1 in Korollar 4.5 lässt sich im allgemeinen nicht umkehren, denn aus der Unkorreliertheit zweier
Zufallsvariablen und folgt im allgemeinen nicht, dass
und unabhängig sind.
- Beispiel
- (zweimaliger Münzwurf)
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Ursa Pantle
2004-05-10