Ereignissysteme

Aus gegebenen Ereignissen $A_1,A_2,\ldots$ kann man durch deren ,,Verknüpfung'' weitere Ereignisse bilden. Dies wird durch die folgenden Mengenoperationen modelliert.

Definition

 

1. Vereinigungsmenge$\;$ $A_{1}\cup A_{2}$: Menge aller Elemente, die zu $A_{1}$ oder $A_{2}$ gehören.
   $\bigcup\limits ^{\infty }_{i=1}A_{i}=A_{1}\cup A_{2}\cup \ldots$: Menge aller Elemente, die zu mindestens einer der Mengen $A_{i}$ gehören.
2. Schnittmenge $A_{1}\cap A_{2}$: Menge aller Elemente, die zu $A_{1}$ und $A_{2}$ gehören.
   $\bigcap\limits ^{\infty }_{i=1}A_{i}=A_{1}\cap A_{2}\cap \ldots$: Menge aller Elemente, die zu jeder der Mengen $A_{i}$ gehören.
3. Differenzmenge $A_{1}\setminus A_{2}$: Menge aller Elemente von $A_{1}$, die nicht zu $A_{2}$ gehören.
   Spezialfall: $\; A^{c}=\Omega \setminus A$ ( Komplement)
4. Symmetrische Mengendifferenz $A_{1}\bigtriangleup A_{2}$: Menge aller Elemente, die zu $A_{1}$ oder $A_{2}$, jedoch nicht zu beiden gehören.
   

Beispiel

$\;$ Sei $\Omega =\{a,b,c,d\},A_{1}=\{a,b,c\},A_{2}=\{b,d\}$.
Dann gilt $A_{1}\cup A_{2}=\{a,b,c,d\};\; A_{1}\cap A_{2}=\{b\};\; A_{1}\setminus A_{2}=\{a,c\};\; A_1^{c}=\{d\}$; $A_{1}\bigtriangleup A_{2}=\{a,c,d\}$.

Beachte

 

• Das Ereignis $A_1\cup A_2$ tritt genau dann ein, wenn $A_1$ oder $A_2$ oder beide eintreten.
• Das Ereignis $A_1\cap A_2$ tritt genau dann ein, wenn $A_1$ und $A_2$ eintreten.
• Das Ereignis $A_1\setminus A_2$ tritt genau dann ein, wenn $A_1$ eintritt und $A_2$ nicht eintritt.
• Das Ereignis $A_1\bigtriangleup A_2$ tritt genau dann ein, wenn $A_1$ oder $A_2$ eintreten und nicht beide eintreten.

Lemma 2.1   Für beliebige Mengen $A_1,A_2\subset \Omega$ gilt:

$$A_1\setminus A_2 =A_1\cap A_2^{c}\,,$$

$$A_1\bigtriangleup A_2=(A_1\cup A_2) \setminus (A_1\cap A_2)=(A_1\setminus A_2)\cup(A_2\setminus A_1)\,.$$

Beweis

$\;$ klar

Definition

$\;$ Die Mengen $A_{1},A_{2},\ldots \subset \Omega$ heißen paarweise disjunkt, falls $A_{i}\cap A_{j}=\emptyset$ für beliebige $i\neq j$.

Beachte

$\;$ Jede beliebige Folge von Mengen $A_{1},A_{2},\ldots \subset \Omega$ kann man in eine Folge von paarweise disjunkten Mengen $A_{1}',A_{2}',\ldots$ überführen: Sei $A_{1}'=A_{1}, A_{2}'=A_{2}\setminus A_{1}', A_{3}'=A_{3}\setminus (A_{1}'\cup A_{2}'),\ldots$
Dann gilt: $A_i'\cap A_j'=\emptyset$ für $i\not= j$, und $\bigcup\limits ^{\infty }_{n=1}A_{n}=\bigcup\limits _{n=1}^{\infty }A_{n}'$

Weitere Eigenschaften

$\;$ Sei $A,B,C\subset \Omega$. Dann gelten

• Eindeutigkeitsgesetze:$\;$ $A\cup \emptyset =A,A\cap \emptyset =\emptyset ,A\cup \Omega =\Omega ,A\cap \Omega =A$
  (allgemein: falls $A\subset B$, dann gilt $A\cap B=A,A\cup B=B$)
• de Morgansche Gesetze: $\;$ $(A\cup B)^{c}=A^{c}\cap B^{c},(A\cap B)^{c}=A^{c}\cup B^{c}$
• Assoziativ-Gesetze: $\;$ $A\cup (B\cup C)=(A\cup B)\cup C,A\cap (B\cap C)=(A\cap B)\cap C$
• Distributiv-Gesetze: $\;$ $A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C),A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)$

Es ist oft nicht zweckmäßig, alle möglichen Teilmengen von $\Omega$ in die Modellierung einzubeziehen, sondern man betrachtet nur die Familie derjenigen Teilmengen von $\Omega$, deren Wahrscheinlichkeiten tatsächlich von Interesse sind. Diese Mengenfamilie soll jedoch abgeschlossen sein bezüglich der Operationen $\cup,\cap,\setminus$, was durch die folgende Begriffsbildung erreicht wird.

Definition

$\;$ Eine nichtleere Familie $\mathcal{F}$ von Teilmengen von $\Omega$ heißt Algebra, falls

(A1)

$A\in \mathcal{F}\Rightarrow A^{c}\in \mathcal{F}$

(A2)

$A_{1},A_{2}\in \mathcal{F}\Rightarrow A_{1}\cup A_{2}\in \mathcal{F}$

Beispiel

$\;$ $\Omega =\{a,b,c,d\},\;\mathcal{F}_1=\left\{ \emptyset ,\{a\},\{b,c,d\},\Omega \right\}$ ist eine Algebra, $\mathcal{F}_2=\left\{ \emptyset,\{a\},\{b,c\},\Omega \right\}$ ist dagegen keine Algebra.

Lemma 2.2   Sei $\mathcal{F}$ eine Algebra und $A_{1},A_{2},\ldots ,A_{n}\in \mathcal{F}.$ Dann gilt

1.

$\emptyset ,\Omega \in \mathcal{F}$

2.

$A_{1}\cap A_{2}\in \mathcal{F}$

3.

$A_{1}\setminus A_{2}\in \mathcal{F}$

4.

$\bigcup\limits _{i=1}^{n}A_{i}\in \mathcal{F},\bigcap\limits_{i=1}^{n}A_{i}\in \mathcal{F}$

Beweis

 

1. Weil $\mathcal{F}$ nicht leer ist, gibt es ein $A\in \mathcal{F},A\subset \Omega$. Also gilt $A^{c}\in \mathcal{F}$ wegen (A1) bzw.
   $\underbrace{A\cup A^{c}}_{=\Omega }\in\mathcal{F}$ wegen (A2) bzw. $\underbrace{\Omega ^{c}}_{=\emptyset }\in \mathcal{F}$ wegen (A1)
2. $A_{1}\cap A_{2}=\left( A^{c}_{1}\cup A^{c}_{2}\right) ^{c}\in \mathcal{F}$
3. $A_{1}\setminus A_{2}=A_{1}\cap A^{c}_{2}=(A^{c}_{1}\cup A_{2})^{c}\in \mathcal{F}$
4. Induktion

Um Grenzwerte bilden zu können, ist es erforderlich, dass das Mengensystem $\mathcal{F}$ nicht nur abgeschlossen ist bezüglich Vereinigung bzw. Durchschnitt von endlich vielen Mengen, sondern auch bezüglich Vereinigung bzw. Durchschnitt von abzählbar unendlich vielen Mengen. Dies wird durch die Hinzunahme der folgenden Bedingung erreicht.

Definition

$\;$ Eine Algebra $\mathcal{F}$ heißt $\sigma$-Algebra, falls zusätzlich

(A3)

$\;$ $A_{1},A_{2},\ldots \in \mathcal{F}\, \Rightarrow \bigcup\limits _{i=1}^{\infty }A_{i}\in \mathcal{F}$ gilt.

Beachte

 

• Das Paar $(\Omega ,\mathcal{F})$ heißt Messraum, falls $\mathcal{F}$ eine $\sigma$-Algebra ist.
• Sei $\Omega=\mathbb{N}$, und sei $\mathcal{F}$ die Familie derjenigen Teilmengen $A$ von $\mathbb{N}$, so dass entweder $A$ oder $A^c$ nur endlich viele Elemente hat. Das Mengensystem $\mathcal{F}$ ist eine Algebra, jedoch keine $\sigma$-Algebra.
• Für jedes $\Omega$ ist die Potenzmenge $\mathcal{P}$, d.h. die Familie aller Teilmengen von $\Omega$, stets eine $\sigma$-Algebra.
• Falls $\Omega$ endlich oder abzählbar unendlich ist, kann $\mathcal{F}=\mathcal{P}$ gewählt werden. Falls $\Omega$ nicht abzählbar ist (z.B. $\Omega =\mathbb{R}$ oder $\Omega =[0,1]),$ dann muss eine kleinere $\sigma$-Algebra betrachtet werden (nicht $\mathcal{P}$).

Definition

$\;$ Seien $A,A_1,A_2,\ldots\subset\Omega$ beliebige Teilmengen von $\Omega$. Dann heißt die Menge

$$\limsup\limits_n A_n\;:=\;\bigcap\limits_{k=1}^\infty\bigcup\limits_{n=k}^\infty A_n$$ (1)

der Limes Superior der Folge $\{A_n\}$, und

$$\liminf\limits_n A_n\;:=\;\bigcup\limits_{k=1}^\infty\bigcap\limits_{n=k}^\infty A_n$$ (2)

heißt der Limes Inferior der Folge $\{A_n\}$. Außerdem sagt man, dass die Folge $\{A_n\}$ gegen die Menge $A$ konvergiert, falls

$$\liminf\limits_n A_n=\limsup\limits_n A_n\qquad (:=A)\,.$$ (3)

Schreibweise

$\;$ Falls die Folge $\{A_n\}$ gegen die Menge $A$ konvergiert, d.h., falls (3) gilt, dann schreiben wir $A=\lim_n A_n$ bzw. einfach $A_n\to A$.

Lemma 2.3   Seien $A,A_1,A_2,\ldots\subset\Omega$ beliebige Teilmengen von $\Omega$.

1.

Falls $A_1\subset A_2\subset\ldots$, dann gilt $A_n\to A:=\bigcup_{n=1}^\infty A_n$. (Schreibweise: $A_n\uparrow A$)

2.

Falls $A_1\supset A_2\supset\ldots$, dann gilt $A_n\to A:=\bigcap_{n=1}^\infty A_n$. (Schreibweise: $A_n\downarrow A$)

Beweis$\;$ Wir zeigen nur die erste Teilaussage. Der Beweis der zweiten Teilaussage ist analog. Sei $A=\bigcup_{n=1}^\infty A_n$. Für jedes $k$ gilt dann $\bigcup_{n=k}^\infty A_n=A$. Also ist $\limsup_n A_n=A$. Andererseits gilt $\bigcap_{n=k}^\infty A_n=A_k$, d.h., $\liminf_n A_n=\bigcup\nolimits_{k=1}^\infty A_k=A$.

$\Box$