Nichtzentrale $\chi ^2$-Verteilung

Um die Verteilung von quadratischen Formen normalverteilter Zufallsvektoren zu bestimmen, führen wir die (parametrische) Familie der nichtzentralen $\chi ^2$-Verteilungen ein.

Definition

$\;$ Sei ${\boldsymbol{\mu}}\in\mathbb{R}^n$ und $(X_1,\ldots,X_n)^\top\sim$ N $({\boldsymbol{\mu}},{\mathbf{I}})$. Dann sagt man, dass die Zufallsvariable

$$Z=(X_1,\ldots,X_n)(X_1,\ldots,X_n)^\top=\sum_{i=1}^n X_i^2$$

eine nichtzentrale $\chi ^2$-Verteilung mit $n$ Freiheitsgraden und dem Nichtzentralitätsparameter $\lambda= {\boldsymbol{\mu}}^\top{\boldsymbol{\mu}}$ hat. (Schreibweise: $Z\sim\chi^2_{n,\lambda}$)

Beachte

 

• Für ${\boldsymbol{\mu}}={\mathbf{o}}$ ergibt sich als Spezialfall die bereits in Abschnitt I-1.3.1 eingeführte (zentrale) $\chi ^2$-Verteilung $\chi^2_n$ mit $n$ Freiheitsgraden.
• Um eine Formel für die Dichte der nichtzentralen $\chi ^2$-Verteilung herzuleiten, betrachten wir (neben der charakteristischen Funktion) noch eine weitere Integraltransformation von Wahrscheinlichkeitsdichten.

Definition

 

• Sei $f:\mathbb{R}\to[0,\infty)$ die Dichte einer reellwertigen Zufallsvariable, so dass das Integral $\int_{-\infty}^\infty e^{tx} f(x) dx$ wohldefiniert ist für jedes $t\in(a,b)$ aus einem gewissen Intervall $(a,b)$ mit $a<b$.
• Dann heißt die Abbildung $\psi:(a,b)\to\mathbb{R}$ mit

  $$\psi(t)=\int\limits_{-\infty}^\infty e^{tx} f(x) dx ,\qquad\forall t\in(a,b)$$ (31)

  
  
  die momenterzeugende Funktion der Dichte $f$.

Es gilt der folgende Eindeutigkeitssatz für momenterzeugende Funktionen, den wir hier ohne Beweis angeben.

Lemma 1.12    

• Seien $f,f^\prime:\mathbb{R}\to[0,\infty)$ die Dichten von reellwertigen Zufallsvariablen, und seien die zugehörigen momenterzeugenden Funktionen $\psi:(a,b)\to\mathbb{R}$ bzw. $\psi^\prime:(a,b)\to\mathbb{R}$ auf einem (gemeinsamen) Intervall $(a,b)$ mit $a<b$ wohldefiniert.
• Es gilt $\psi(t)=\psi^\prime(t)$ für jedes $t\in(a,b)$ genau dann, wenn $f(x)=f^\prime(x)$ für fast jedes $x\in\mathbb{R}$.

Mit Hilfe von Lemma 1.12 können wir nun die Dichte der nichtzentralen $\chi ^2$-Verteilung bestimmen.

Theorem 1.8    

• Sei $Z_{n,\lambda}:\Omega\to\mathbb{R}$ eine $\chi^2_{n,\lambda}$-verteilte Zufallsvariable mit $n$ Freiheitsgraden und Nichtzentralitätsparameter $\lambda$.
• Dann ist die Dichte von $Z_{n,\lambda}$ gegeben durch

  $$f_{Z_{n,\lambda}}(z)=\left\{\begin{array}{ll} \exp\Bigl(-\;\displ... ...\Bigr)}\;, & \mbox{wenn $z>0$,} [3\jot] 0 & \mbox{sonst.} \end{array}\right.$$ (32)

  
  

Beweis

 

• Sei ${\boldsymbol{\mu}}\in\mathbb{R}^n$ und $(X_1,\ldots,X_n)^\top\sim$ N $({\boldsymbol{\mu}},{\mathbf{I}})$.
• Die momenterzeugende Funktion $\psi_Z(t)$ von $Z=(X_1,\ldots,X_n)(X_1,\ldots,X_n)^\top=\sum_{j=1}^n X_j^2$ ist im Intervall $(-\infty,1/2)$ wohldefiniert, und es gilt für jedes $t<1/2$, dass
  

  $$\psi_Z(t) = {\mathbb{E} }\exp\Bigl(t\sum_{j=1}^n X_j^2\Bigr) \;=\; \int\limi... ...rac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp\Bigl(\frac{1}{2}\;(x_j-\mu_j)^2\Bigr) dx_1\ldots dx_n$$

  $$= \Biggl(\frac{1}{2\pi}\Biggr)^{n/2}\int\limits_{-\infty}^\infty\ld... ...=1}^n x_j^2-\frac{1}{2}\sum\limits_{j=1}^n(x_j-\mu_j)^2\Biggr) dx_1\ldots dx_n$$

  $$= \prod\limits_{j=1}^n \int\limits_{-\infty}^\infty(2\pi)^{-1/2} \exp\Biggl( tx_j^2-\frac{1}{2}(x_j-\mu_j)^2\Biggr) dx_j .$$

  
  

• Dabei lässt sich der Exponent des letzten Ausdruckes wie folgt umformen:
  

  $$tx_j^2-\frac{1}{2}(x_j-\mu_j)^2 = -\;\frac{1}{2} (-2 tx_j^2+x_j^2-2x_j\mu_j+\mu_j^2)$$

  $$= -\;\frac{1}{2} \Bigl(x_j^2(1-2t)-2x_j\mu_j +\mu_j^2(1-2t)^{-1}+\mu_j^2-\mu_j^2(1-2t)^{-1}\Bigr)$$

  $$= -\;\frac{1}{2} \Bigl((x_j-\mu_j(1-2t)^{-1})^2(1-2t)+\mu_j^2(1-(1-2t)^{-1})\Bigr) .$$

  
  

• Somit gilt
  

  $$\psi_Z(t) = \exp\Biggl(-\;\frac{1}{2} (1-(1-2t)^{-1})\sum\limits_{j=1}^n\mu_... ...{-1/2}\exp\Bigl( -\;\frac{(x_j-\mu_j(1-2t)^{-1})^2}{2(1-2t)^{-1}}\Bigr) dx_j$$

  $$= (1-2t)^{-n/2}\exp\Bigl(-\;\frac{\lambda}{2}\;(1-(1-2t)^{-1})\Bigr) ,$$

  
  
  weil unter dem Integral die Dichte der eindimensionalen Normalverteilung (bis auf den konstanten Faktor $(1-2t)^{1/2}$) steht; $\lambda= {\boldsymbol{\mu}}^\top{\boldsymbol{\mu}}$.
• Andererseits ergibt sich für die momenterzeugende Funktion $\psi(t)$ der in (32) gegebenen Dichte $f_{Z_{n,\lambda}}(z)$, dass
  

  $$\psi(t) = \sum\limits_{j=0}^\infty\;\frac{e^{-\lambda/2}(\lambda/2)^j}{j!}\... ...^{n/2+j-1}e^{-z/2}}{2^{\frac{n}{2}+j} \Gamma\Bigl(\frac{n}{2}+j\Bigr)}\; dz ,$$

  
  
  wobei das Integral die momenterzeugende Funktion der (zentralen) $\chi ^2$-Verteilung $\chi^2_{n+2j}$ mit $n+2j$ Freiheitsgraden ist.
• Ähnlich wie die charakteristische Funktion (vgl. Theorem I-1.5) ist die momenterzeugende Funktion dieser Verteilung gegeben durch
  $$\psi_{\chi^2_{n+2j}}(t)=\frac{1}{(1-2t)^{n/2+j}}\;.$$

• Somit gilt
  $$\int\limits_0^\infty e^{tz}\;\frac{z^{n/2+j-1}e^{-z/2}}{2^{\frac{n}{2}+j} \Gamma\Bigl(\frac{n}{2}+j\Bigr)}\; dz =\frac{1}{(1-2t)^{n/2+j}}\;,$$
  bzw.
  

  $$\psi(t) = e^{-\lambda/2}(1-2t)^{-n/2} \sum\limits_{j=0}^\infty\;\frac{1}{j!}\; \Bigl(\frac{\lambda}{2}(1-2t)^{-1}\Bigr)^j$$

  $$= (1-2t)^{-n/2}\exp\Bigl(-\;\frac{\lambda}{2}\;(1-(1-2t)^{-1})\Bigr) .$$

  
  

• Somit gilt $\psi(t)=\psi_Z(t)$ für jedes $t<1/2$, und die Behauptung folgt aus Lemma 1.12.
  
  $\Box$