Spur und Rang

• Die Spur ${ {\rm sp}}({\mathbf{A}})$ einer quadratischen $n\times n$ Matrix ${\mathbf{A}}=(a_{ij})$ ist gegeben durch

  $${ {\rm sp}}({\mathbf{A}})=\sum_{i=1}^n a_{ii} .$$ (1)

  
  

• Sei ${\mathbf{A}}$ eine beliebige $n\times m$ Matrix. Der Rang ${ {\rm rg}}({\mathbf{A}})$ ist die maximale Anzahl der linear unabhängigen Zeilen (bzw. Spalten) von ${\mathbf{A}}$.
  • Dabei heißen die Vektoren ${\mathbf{a}}_1,\ldots,{\mathbf{a}}_\ell\in\mathbb{R}^m$ linear abhängig, wenn es reelle Zahlen $c_1,\ldots,c_\ell\in\mathbb{R}$ gibt, die nicht alle gleich Null sind, so dass $c_1{\mathbf{a}}_1+\ldots+c_\ell{\mathbf{a}}_\ell={\mathbf{o}}$.
  • Anderenfalls heißen die Vektoren ${\mathbf{a}}_1,\ldots,{\mathbf{a}}_\ell\in\mathbb{R}^m$ linear unabhängig.

Unmittelbar aus der Definitionsgleichung (1) der Matix-Spur und aus der Definition der Matrix-Multiplikation ergibt sich der folgende Hilfssatz.

Lemma 1.1   $\;$ Sei ${\mathbf{C}}$ eine beliebige $n\times m$ Matrix und ${\mathbf{D}}$ eine beliebige $m\times n$ Matrix. Dann gilt ${ {\rm sp}}({\mathbf{C}}{\mathbf{D}})={ {\rm sp}}({\mathbf{D}}{\mathbf{C}})$.

Man kann zeigen, dass eine quadratische Matrix ${\mathbf{A}}$ genau dann invertierbar ist, wenn ${\mathbf{A}}$ vollen Rang hat bzw. wenn $\det{\mathbf{A}}\not=0$ gilt. In diesem Zusammenhang ist auch das folgende Rsultat nützlich.

Lemma 1.2   Sei ${\mathbf{A}}$ eine $n\times m$ Matrix mit $n\ge m$ und ${ {\rm rg}}({\mathbf{A}})=m$. Dann gilt ${ {\rm rg}}({\mathbf{A}}^\top{\mathbf{A}})=m$.

Beweis

 

• Es ist klar, dass der Rang ${ {\rm rg}}({\mathbf{A}}^\top{\mathbf{A}})$ der $m\times m$ Matrix ${\mathbf{A}}^\top{\mathbf{A}}$ nicht größer als $m$ sein kann.
• Wir nehmen nun an, dass ${ {\rm rg}}({\mathbf{A}}^\top{\mathbf{A}})<m$. Dann gibt es einen Vektor ${\mathbf{c}}=(c_1,\ldots,c_m)^\top\in\mathbb{R}^m$, so dass ${\mathbf{c}}\not={\mathbf{o}}$ und ${\mathbf{A}}^\top{\mathbf{A}}{\mathbf{c}}={\mathbf{o}}$.
• Hieraus folgt, dass auch ${\mathbf{c}}^\top{\mathbf{A}}^\top{\mathbf{A}}{\mathbf{c}}={\mathbf{o}}$ bzw. $({\mathbf{A}}{\mathbf{c}})^\top({\mathbf{A}}{\mathbf{c}})={\mathbf{o}}$, d.h. ${\mathbf{A}}{\mathbf{c}}={\mathbf{o}}$.
• Dies ist jedoch ein Widerspruch zu der Voraussetzung, dass ${ {\rm rg}}({\mathbf{A}})=m$.
  
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Außerdem kann man zeigen, dass die beiden folgenden Eigenschaften von Spur bzw. Rang gelten.

Lemma 1.3   $\;$ Seien ${\mathbf{A}}$ und ${\mathbf{B}}$ beliebige $n\times n$ Matrizen. Dann gilt stets ${ {\rm sp}}({\mathbf{A}}-{\mathbf{B}})={ {\rm sp}}({\mathbf{A}})-{ {\rm sp}}({\mathbf{B}})$. Wenn ${\mathbf{A}}$ idempotent und symmetrisch ist, d.h., ${\mathbf{A}}={\mathbf{A}}^2$ und ${\mathbf{A}}={\mathbf{A}}^\top$, dann gilt außerdem ${ {\rm sp}}({\mathbf{A}})={ {\rm rg}}({\mathbf{A}})$.