Eigenwerte und Eigenvektoren

Definition

$\;$ Sei ${\mathbf{A}}$ eine beliebige $n\times n$ Matrix. Jede (komplexe) Zahl $\lambda\in\mathbb{C}$, für die es einen Vektor ${\mathbf{x}}\in\mathbb{C}^n$ mit ${\mathbf{x}}\not={\mathbf{o}}$ gibt, so dass

$$({\mathbf{A}}-\lambda{\mathbf{I}}){\mathbf{x}}={\mathbf{o}} ,$$ (2)

heißt Eigenwert der Matrix ${\mathbf{A}}$. Außerdem sagt man dann, dass ${\mathbf{x}}$ ein zu $\lambda$ gehörender Eigenvektor ist.

Beachte

 

• Die Gleichung (2) hat nur für solche $\lambda\in\mathbb{C}$ eine Lösung ${\mathbf{x}}\in\mathbb{C}^n$ mit ${\mathbf{x}}\not={\mathbf{o}}$, für die $\lambda$ eine Lösung der so genannten charakteristischen Polynomgleichung

  $$\det ({\mathbf{A}}-\lambda{\mathbf{I}})=0$$ (3)

  
  
  ist, wobei die linke Seite $P(\lambda)=\det ({\mathbf{A}}-\lambda{\mathbf{I}})$ von (3) das charakteristische Polynom der Matrix ${\mathbf{A}}$ genannt wird.
• Seien $\lambda_1,\ldots,\lambda_k\in\mathbb{R}$ die reellwertigen Lösungen von (3). Dann lässt sich das charakteristische Polynom $P(\lambda)$ in der Form

  $$P(\lambda)=(-1)^n(\lambda-\lambda_1)^{a_1}\ldots (\lambda-\lambda_k)^{a_k} q(\lambda)$$ (4)

  
  
  darstellen, wobei $a_1,\ldots,a_k\in\mathbb{N}$ positive natürliche Zahlen sind, genannt die algebraischen Vielfachheiten von $\lambda_1,\ldots,\lambda_k$, und $q(\lambda)$ ein Polynom der Ordnung $n-\sum_{i=1}^k a_i$ ist, das keine reellen Lösungen besitzt.

Lemma 1.4   $\;$ Sei ${\mathbf{A}}=(a_{ij})$ eine symmetrische $n\times n$ Matrix mit reellwertigen Einträgen $a_{ij}$. Dann sind sämtliche Eigenwerte reell, und die zu verschiedenen Eigenwerten $\lambda_i,\lambda_j\in\mathbb{R}$ gehörenden Eigenvektoren ${\mathbf{x}}_i,{\mathbf{x}}_j\in\mathbb{R}^n$ sind zueinander orthogonal.

Beweis

 

• Die Determinante $\det({\mathbf{A}}-\lambda{\mathbf{I}})$ in (3) ist gegeben durch

  $$\det({\mathbf{A}}-\lambda{\mathbf{I}})=\sum\limits_{{\boldsymbol{... ...})}\prod_{i: i\not=\pi_i}a_{i\pi_i}\prod_{i: i=\pi_i}(a_{i\pi_i}-\lambda) ,$$ (5)

  
  
  wobei sich die Summation über alle $m!$ Permutationen ${\boldsymbol{\pi}}=(\pi_1,\ldots,\pi_m)$ der natürlichen Zahlen $1,\ldots,m$ erstreckt und $r({\boldsymbol{\pi}})$ die Anzahl der Zahlenpaare in ${\boldsymbol{\pi}}$ ist, die sich nicht in der natürlichen Ordnung befinden.
• Weil die Elemente von ${\mathbf{A}}$ reelle Zahlen sind, ist für jede Lösung $\lambda=a+{\rm i} b$ von (3) gleichzeitig auch $\overline\lambda=a-{\rm i} b$ eine Lösung von (3).
• Seien ${\mathbf{x}}={\mathbf{a}}+{\rm i} {\mathbf{b}}$ und $\overline{\mathbf{x}}={\mathbf{a}}-{\rm i} {\mathbf{b}}$ Eigenvektoren, die zu $\lambda$ bzw. $\overline\lambda$ gehören. Dann gilt ${\mathbf{A}}{\mathbf{x}}=\lambda{\mathbf{x}}$ und ${\mathbf{A}}\overline{\mathbf{x}}=\overline\lambda\overline{\mathbf{x}}$ bzw.
  $$\overline{\mathbf{x}}^\top{\mathbf{A}}{\mathbf{x}} =\overline{\mathbf{x}}^\top\lambda{\mathbf{x}}=\lambda\overline{\mathbf{x}}^\top{\mathbf{x}}$$
  und
  $$\overline{\mathbf{x}}^\top{\mathbf{A}}{\mathbf{x}}=\bigl({\mathbf... ...r)^\top{\mathbf{x}}= \overline\lambda\overline{\mathbf{x}}^\top{\mathbf{x}} .$$

• Hieraus folgt, dass $\lambda\overline{\mathbf{x}}^\top{\mathbf{x}}=\overline\lambda\overline{\mathbf{x}}^\top{\mathbf{x}}$.
• Weil $\overline{\mathbf{x}}^\top{\mathbf{x}}=\vert{\mathbf{a}}\vert^2+\vert{\mathbf{b}}\vert^2>0$, ergibt sich hieraus, dass $\lambda=\overline\lambda$, d.h., $\lambda$ ist eine reelle Zahl.
• Auf ähnliche Weise lässt sich zeigen, dass es zu verschiedenen Eigenwerten $\lambda_i,\lambda_j\in\mathbb{R}$ gehörende Eigenvektoren ${\mathbf{x}}_i,{\mathbf{x}}_j\in\mathbb{R}^n$ mit reellwertigen Komponenten gibt, die zueinander orthogonal sind.
• Weil die Matrix ${\mathbf{A}}-\lambda_i{\mathbf{I}}$ nur reellwertige Eintragungen hat, sind mit ${\mathbf{x}}_i$ auch $\overline{\mathbf{x}}_i$ bzw. ${\mathbf{x}}_i+\overline{\mathbf{x}}_i\in\mathbb{R}^n$ zu $\lambda_i$ gehörende Eigenvektoren.
• Wir können (und werden) deshalb o.B.d.A. annehmen, dass ${\mathbf{x}}_i,{\mathbf{x}}_j\in\mathbb{R}^n$. Aus der Gültigkeit von
  $$({\mathbf{A}}-\lambda_i{\mathbf{I}}){\mathbf{x}}_i={\mathbf{o}}$$   und$$\qquad ({\mathbf{A}}-\lambda_j{\mathbf{I}}){\mathbf{x}}_j={\mathbf{o}}$$
  ergibt sich außerdem, dass ${\mathbf{A}}{\mathbf{x}}_i=\lambda_i{\mathbf{x}}_i$ und ${\mathbf{A}}{\mathbf{x}}_j=\lambda_j{\mathbf{x}}_j$ bzw.
  $${\mathbf{x}}_j^\top{\mathbf{A}}{\mathbf{x}}_i=\lambda_i{\mathbf{x}}_j^\top{\mathbf{x}}_i$$   und$$\qquad {\mathbf{x}}_i^\top{\mathbf{A}}{\mathbf{x}}_j=\lambda_j{\mathbf{x}}_i^\top{\mathbf{x}}_j .$$

• Andererseits gilt offenbar ${\mathbf{x}}_j^\top{\mathbf{x}}_i={\mathbf{x}}_i^\top{\mathbf{x}}_j$, und aus der Symmetrie von ${\mathbf{A}}=(a_{ij})$ ergibt sich die Identität ${\mathbf{x}}_j^\top{\mathbf{A}}{\mathbf{x}}_i={\mathbf{x}}_i^\top{\mathbf{A}}{\mathbf{x}}_j$, denn es gilt
  $${\mathbf{x}}_j^\top{\mathbf{A}}{\mathbf{x}}_i=\sum\limits_{m=1}^n... ...^n x_{mi}a_{m\ell} x_{\ell j}={\mathbf{x}}_i^\top{\mathbf{A}}{\mathbf{x}}_j .$$

• Insgesamt ergibt sich somit, dass $\lambda_i{\mathbf{x}}_j^\top{\mathbf{x}}_i=\lambda_j{\mathbf{x}}_i^\top{\mathbf{x}}_j$ bzw. $(\lambda_i-\lambda_j){\mathbf{x}}_j^\top{\mathbf{x}}_i=0$.
• Wegen $\lambda_i-\lambda_j\not=0$ folgt hieraus, dass ${\mathbf{x}}_j^\top{\mathbf{x}}_i=0$.
  
  $\Box$